优质解析：河北省衡水中学2017届高三上学期摸底联考（全国卷）数学（理）试题（解析版）.doc

第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 若集合，且，则集合可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 试题分析：因为，所以，下列选项中只有选项A中的集合是集合的子集，故选A. 考点：集合的运算. 【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）. 2. 复数 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 考点：1.复数的相关概念；2.复数的运算. 3. 已知平面向量满足，且，则向量与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：，所以，故选C.[来源:Z&xx&k.Com] 考点：向量的数量积. 4. 执行如图所示的程序框图，若输人的值为，则输出的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 考点：程序框图. 5. 已知数列中，为其前项和，的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 试题分析：由条件可得，所以，故选A. 考点：1.数列的递推公式；2.数列求和. 6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 考点：三视图. 7. 为了得到，只需将作如下变换（ ） A． 向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【解析】 试题分析：因为，所以只需将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，故选C.[来源:学_科_网Z_X_X_K] 考点：图象平移变换. 8. 若为不等式组，表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：在直角坐标系中作出区域A，当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域为下图中的四边形，所以其面积为，故选D. 考点：线性规划. 9. 焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 考点：椭圆的标准方程与几何性质. 10. 在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积. 11. 已知函数，则关于的方程实根个数不可能为 （ ） A． 个 B．个 C． 个 D． 个 【答案】D 【解析】 试题分析：在坐标系内作出函数的图象，由图象可知，方程的解的个数可能为0个、2个、3个、4个，不可能为5个，故选D. 考点：函数与方程. 【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的. 12. 函数部分图象如图所示，且，对不同的，若，有，则（ ） A．在上是减函数 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D．在上增减函数 【答案】B 故选B. 考点：三角函数的图象与性质. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定，再根据周期确定，由最高点的值或最低点的值确定，求出解析式后再研究函数相关性质. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 的展开式中项的系数为 ． 【答案】 【解析】 试题分析：的展开式中项的系数为,故填. 考点：二项式定理. 14. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数 ． 【答案】 考点：抛物线与双曲线的标准方程与几何性质. 15. 如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高 ． [来源:] 【答案】 考点：解三角形应用举例. 【名师点睛】本题考查解三角形应用，属中档题；三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正（余）弦定理、正余弦函数等知识为核心，以航海、测量、筑路、天文等为代表的实际应用题是高考的热点题型，求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合思想并借助正、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解. 16. 设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 试题分析：对任意，不等式恒成立等价于，，当且仅当时取等号，所以，即，，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，所以，所以有，解之得. 考点：1.导数与函数的最值；2.函数与不等式. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数的最值、函数与不等式，属中档题；解决不等式相关问题最常用的方法就是等价转换，即将题中所给的我们不熟悉的问题通过等价转化，转化为我们能够解决的、熟悉的问题解决，如本题中的第一步等价转换就是解题的关键. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的. （1）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2016年为第一年）; （2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:）. 【答案】（1）；（2）到年不需要调整政策. （2）设 为数列的前项和，则从 年到年共年，由等差数列及等比数列的求和公式得： 万 新政策实施到年年人口均值为 故到年不需要调整政策． 考点：1.数列的应用；2.等差数列的通项公式与求和公式；3.等比数列的通项公式与求和公式. 【名师点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式，属中档题；等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面平面,且,且. （1）设点为棱中点, 在面内是否存在点,使得平面？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由; （2）求二面角的余弦值. 【答案】(1)存在点，为中点；(2). （2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系， 平面PEA 平面PEA的法向量 另外，， ，,设平面DPE的法向量，则 ，令，得 又为锐二面角,所以二面角的余弦值为 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.[来源:ZXXK] 19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次，其中为标准，为标准.已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示： [来源:] 且的数学期望,求的值; （2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下: 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望； （3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：① 产品的“性价比”； ②“性价比”大的产品更具可购买性. 【答案】(1);(2);(3) 乙厂的产品更具可购买性. （2）由已知得，样本的频率分布表如下： 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下： 所以， 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下： 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为 因为乙厂产品的等级系数的期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为 据此，乙厂的产品更具可购买性。 考点：1.离散型随机变量的概率分布列与期望；2.用样本的数据特征估计总体. 20. （本小题满分12分）已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切. （1）求椭圆的方程; （2）已知椭圆的左顶点的两条直线分别交椭圆于两点, 且,求证: 直线过定点, 并求出定点坐标； (3) 在(2) 的条件下求面积的最大值. 【答案】(1);(2)过定点，证明见解析；(3). i) 时， 过定点 ii) 时过点过定点 （3）由（2）知 令时取等号时去等号， 考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆的几何性质；3.直线与椭圆的位置关系；4.基本不等式. 【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式,属难题；解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 21. （本小题满分12分）已知函数(常数). （1）证明: 当时, 函数有且只有一个极值点; （2）若函数存在两个极值点,证明:. 【答案】(1)(2)均见解析. （1）①当时，，所以无解，则函数 不存在大于零的极值点； ②当时，由，故在 单调递增. 又，， 所以在有且只有一个零点. 3分 又注意到在的零点左侧，，在的零点右侧，， 所以函数在有且只有一个极值点. 综上所述，当 时，函数在内有且只有一个极值点. 4分 （2）因为函数存在两个极值点（不妨设）， 所以,是的两个零点，且由（1）知，必有. 令得 ； 令 得； 将代数式视为以为自变量的函数 则 . 当时，因为，所以， 则在单调递增. 因为，所以， 又因为，所以. 当时，因为，所以， 则在单调递减， 因为，所以. 综上知，且．． 12分 考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与不等式. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图, 四点在同一个圆上，与的延长线交于点,点在的延长线上. （1）若,求的值; （2）若,证明:. 【答案】(1);(2)见解析. 考点：1.三角形相似；2.圆的性质与应用. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为: 为参数), 曲线的极坐标方程为:. （1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程; （2）设直线与曲线相交于两点, 求的值. 【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为, l的普通方程为;(2). 考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2，参数方程与普通方程的互化；3.直线参数方程参数的几何意义. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数. （1）解不等式; （2）若对任意,都有,使得成立, 求实数的取值范围. 【答案】(1) ;(2). 考点：1.含绝对值不等式的解法；2.含绝对值函数值域的求法.