优质解析：河北省衡水中学2016届高三下学期第六次调研考试（A）数学（理）试题（解析版）.doc

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：由于,因此应选D． 考点：复数的运算． 2．已知集合，若，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 考点：二次不等式的解法和集合的运算． 3．某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法 抽出一个容量为120的样本，已知种型号产品共抽取了24件，则种型号产品抽取的件数为（ ） A．24 B．30 C．36 D．40 【答案】C 【解析】 试题分析：因,故,应选C. 考点：抽样方法及计算． 4．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：从所给算法流程可以看出当时仍在运算,当时运算就结束了,所以应选C. 考点：算法流程图的识读和理解． 5．已知把函数的图像向右平移个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍， 得到函数，则函数的一条对称轴为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：因,向右平移个单位后变为,再将其横坐标扩大到原来的两倍后得到,应选D. 考点：三角函数的图象和性质． 6．已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（ ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 考点：等比数列的前项和与函数的极值. 7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行， 要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A．48种 B．72种 C．78种 D．84种 【答案】A 【解析】 试题分析：先将穿红衣服的两人排定有种排法；再将穿黄衣服的两人插空有种排法；最后将穿蓝衣服的人插入有四种插法,由分布计数原理共有种排法,应选A. 考点：排列组合数公式及两个计数原理的运用. 8．已知椭圆的左、右焦点与双曲线的焦点重合．且直线 与双曲线右支相交于点，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 考点：双曲线的几何性质． 【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的基本量的计算问题.解答这类问题的一般思路是依据题设条件想方设法建构含的方程,然后再通过解方程或方程组使问题获解.解答本题的难点是如何建立和求出关于离心率的目标函数,再进一步探求该函数取得最小值时的条件,从而求出双曲线的标准方程中的的值.本题中的函数是运用两点之间的距离公式建立的,求解时是解不等式而求出的值. 9．一个长方体的四个顶点构成一个四面体，在这个长方体中把四面体截出如图所 示，则四面体的侧视图是（ ） A． B． C． D．[来源:学_科_网Z_X_X_K] 【答案】D 【解析】 试题分析：侧视图就是左视图,也就是从几何体的左侧向右看,几何体所投射到平面上所得到的图形,由于被遮挡故应画虚线,所以应选D. 考点：三视图的识读和理解． 10．已知函数的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实 数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 考点：导数在研究函数的零点中的运用． 11．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若，，， 且平面，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 试题分析：设球心为,外接圆的圆心为,外接圆的半径为,则平面,由于平面,因此,在中,由余弦定理得,所以,即.由此可得,所以球的面积是,应选A. 考点：球的几何性质与表面积的计算． 【易错点晴】本题考查的是多面体的外接球的表面积问题.解答本题的难点是如何求出该四棱锥的外接球的半径,如何确定球心的位置,这对学生的空间想象能力的要求非常高.解答时充分借助题设条件,先求出三角形的外接圆的半径,再借助平面,球心与的外接圆的圆心的连线也垂直于所在的平面,从而确定球心与共面.求出了球的半径,找到解题的突破口. 12．已知函数下列是关于函数的零点个数的四种判断：① 当时，有3个零点；②当时．有2个零点；③当时，有4个零点；④当时，有1 个零点．则正确的判断是（ ） A．③④ B．②③ C．①④ D．①② 【答案】A 【解析】 试题分析：若.当,即时,,解得；当,即时,,当,解得适合；当,解得不适合.若,若,则,即,当合适,时不合适；若,则,即也即,当时适合；当不合适.因此当时有四个根；当只有一个根,应选A. 考点：函数的零点和分类整合思想． 【易错点晴】本题考查的是函数零点的个数及求解问题.解答时借助题设条件,合理运用分类整合的数学思想,通过对变量的分类讨论,建立了关于函数的方程,再通过对参数的分类讨论,求解出方程的根,求解时分类务必要求合乎逻辑力争做到不重不漏,要有条理.解答本题的难点是如何转化方程,如何进行分类整合. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13．已知抛物线的焦点为，的顶点都在抛物线上，且满足 ，则______． 【答案】 【解析】 试题分析：设,由可得.因,故,,则 . 考点：抛物线的几何性质． 14．设曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则 的值为______． 【答案】 考点：导数的几何意义． 15．已知中，角、、的对边分别为、、，已知， 则的最小值为______． 【答案】 【解析】[来源:Z,xx,k.Com] 试题分析：由得,即.因为,即,所以,即的最小值为. 考点：余弦定理和基本不等式的运用． 【易错点晴】本题考查的是以三角形中的三角变换为背景,其实是和解三角形有关的最小值问题.求解本题的关键是如何将题设条件与的最小值进行联系,这也是解答好本题的突破口.解答时先运用二倍角公式将其化为,再运用正弦定理将其转化为三角形的边的等式.然后再借助余弦定理和基本不等式进行联系,从而求出的最小值. 16．若函数在定义域内的某个区间上是增函数，且在上也是增函数， 则称是上的“完美函数”．已知，若函数是区间上的 “完美函数”，则整数的最小值为______． 【答案】 考点：导函数的几何意义． 【易错点晴】本题以新定义的完美函数为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何建立满足不等式的实数的值.求解时依据题设条件先对函数和求导,建立不等式组,求参数的值时运用的是试验验证法,即根据题设条件对适合条件的实数的值进行逐一检验,最终获得答案. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分） 设数列的前项和为，且首项． （1）求证：是等比数列； （2）若为递增数列，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】 （2）由（1）得，，所以． 当时， ．…………8分 若为递增数列，则对恒成立． 当时，， 则对恒成立， 则；…………………………………………………………………………………………………10分 又 所以的取值范围为 考点：等比数列及递增数列等有关知识的运用． 18．（本小题满分12分） 有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公 路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆 汽车所用时间的频率分布如下表： 所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路1的频数 20 40 20 20 通过公路2的频数 10 40 40 10 假设汽车只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车只能在约定日期的前12天出发（将频 率视为概率）． （l）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车和汽车应如何选择各自的路 径；[来源:学§科§网] （2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费 用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元， 若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天， 生产商将支付给销售商2万元．如果汽车按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获 得的毛利润更大． 【答案】(1) 汽车选择公路，汽车选择公路；(2)汽车为生产商获得毛利润更大．. 【解析】 试题分析：(1)依据题设条件计算概率,通过比较分析求解；(2)借助题设条件运用数学期望的大小分析推证. 试题解析: （1）频率分布表，如下： 所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路1的频数 0.2 0.4 0.2 0.2 通过公路2的频数 0.1 0.4 0.4 0.1 设分别表示汽车在约定日期前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；、分别表示汽车在约定日期前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙； ， ， ， ， 所以汽车选择公路1，汽车选择公路2． （Ⅱ）设表示汽车选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则． 的分布列如下： 42 40 38 36 0.2 0.4 0.2 0.2 ． ∴表示汽车选择公路1时的毛利润为（万元）． 设表示汽车选择公路2时的毛利润，． 则的分布列如下： 42.4 40.4 38.4 36.4 0.1 0.4 0.4 0.1 ． ∵，∴汽车为生产商获得毛利润更大． 考点：概率和随机变量的分布列与数学期望等有关知识的运用． 19．（本小题满分12分） 如图，平面平面，，为等边三角形，，过作平面交、 分别于点、． （1）求证：； （2）设，求的值，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为． 【答案】(1)证明见解析；(2) . 【解析】 试题分析：(1)依据题设条件建立空间直角坐标系推证；(2)借助题设条件运用向量的数量积公式建立方程求解. 试题解析: （2）， 设平面的法向量，则，可取， 又∵是平面的一个法向量， 由，以及可得， 即，解得（负值舍去），故．[来源:Zxxk.Com] 考点：空间直线与平面的位置关系及空间向量等有关知识的运用． 【易错点晴】空间向量是理科高考的必考的重要内容之一,也是高考的难点之一.解答这类问题的关键是运算求解能力不过关和灵活运用数学知识和思想方法不到位.解答本题的两个问题时,都是通过建立空间直角坐标系,充分借助题设条件和空间向量的有关知识进行推证和求解.第一问中的求证是借助向量共线定理进行推证的；第二问中充分运用向量的数量积公式建立方程的,通过解方程从而求出.如何通过计算建立方程是解答好本题的难点和关键之所在. 20．（本小题满分12分） 如图，已知圆，点，是圆上任意一点线段的垂直平分线和半 径相交于． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设直线与（1）中轨迹相交下两点，直线的斜率分别为（其中）． 的面积为，以为直径的圆的面积分别为．若恰好构成等比数列，求的取 值范围． 【答案】(1) ；(2). 【解析】 试题分析：(1)依据题设条件运用椭圆的定义建立方程求解；(2)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立函数求解. 试题解析: （1）连结，根据题意，， 则， 故动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆．2分 设其方程为，可知，则，3分 所以点的轨迹的方程为为．4分 （2）设直线的方程为， 由可得， 由韦达定理有： 且………………………………………………………6分 ∵构成等比数列，∴， 即： 由韦达定理代入化简得：．∵，∴………………………………………………8分 此时，即．又由、、三点不共线得 从而． 故 10分 又 则 为定值．12分 ∴当且仅当时等号成立． 综上：．14分 考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的运用． 21．（本小题满分12分） 已知函数． （l）求函数的单调区间； （2）当时，求在上的最大值和最小值； （3）求证：． 【答案】(1) 若，函数的单调减区间为，若，的单调增区间为，单调减区间为；(2)最大值为，最小值为；(3)证明见解析. 【解析】 试题分析：(1)依据题设条件依据导数和函数的单调性的关系分类求解；(2)借助题设条件运用导数求解；(3)运用导数的知识及最大最小值进行推证. （2）时，， 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上的最大值为； 而；， ， 所以，故函数在上的最小值为． （3）由（2）可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在上的最大值为，即． 故有恒成立，所以，故， 即． 考点：导数在研究函数的单调性和最值中的运用． 【易错点晴】本题以探求函数的单调性和不等式的推证为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的综合应用问题.解答本题的第一问时,是直接依据题设条件运用分类讨论的思想求出单调区间；第二问中的最值求解则是运用导数研究函数在各个区间上的单调性,再依据最值的定义求出最值；第三问中的不等式的证明和推证则是依据题设条件,将问题进行合理有效的转化为求最值问题.体现数学中的化归与转化的数学思想的巧妙运用. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 已知直线与圆相切于点，交圆于、两点，交圆于，，， ，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】 试题分析：(1)依据题设条件构造等角,探寻相似三角形的条件推证；(2)借助题设条件运用相似三角形和圆幂定理求解. 试题解析: （1）因为，所以，因为与圆相切于点，所以，所以． 考点：圆的有关知识的及运用． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直 角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）． （1）求圆的标准方程和直线的普通方程； （2）若直线与圆恒有公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) ，；(2) 或. 【解析】 试题分析：(1)依据题设条件消参化直角坐标方程,再将极坐标化为直角坐标；(2)借助题设条件运用点到直线的距离公式建立不等式求解. 试题解析: （1）由得 所以直线的普通方程为：，……………………………………………………………2分 由 又 所以，圆的标准方程为，…………………………………………………………5分 考点：极坐标方程和参数方程等有关知识及运用． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （1）设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大 值； （2）已知正数满足，求的最小值． 【答案】(1)；(2). 【解析】 试题分析：(1)依据题设条件运用绝对值不等式的性质求解；(2)借助题设条件运用柯西不等式求解. 试题解析: （1）由绝对值的性质得，………………3分 所以的最小值为，从而，解得， 因此的最大值为．…………………………………………………………………………………5分 （2）由于，所以 ．[来源:Z&xx&k.Com] 当且仅当，即时，等号成立．……………………………………8分 ∴的最小值为．…………………………………………………………………10分 考点：绝对值不等式和柯西不等式等有关知识及运用．