优质解析：河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研考数学（理）试题（解析版）.doc

第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，集合中至少有3个元素，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：因为集合中至少有3个元素，所以，所以，故选C． 考点：1、集合的元素；2、对数的性质． 2.复数的共轭复数的虚部是（ ） A． B． C．-1 D．1 【答案】C 考点：复数的概念及运算． 3. 下列结论正确的是（ ） A．若直线平面，直线平面，则 B．若直线平面，直线平面，则[来源:] C．若两直线与平面所成的角相等，则 D．若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则 【答案】A 【解析】 试题分析：A中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线平面，直线平面，则，正确；B中，若直线平面，直线平面，则两平面可能相交或平行，故B错；C中，若两直线与平面所成的角相等，则可能相交、平行或异面，故C错；D中，若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D错，故选A． 考点：空间直线与平面间的位置关系． 【思维点睛】解答此类试题的关键是对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件． 4.等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ） A．29 B．31 C．33 D．36[来源:Zxxk.Com] 【答案】B 考点：等比数列通项公式及求前项和公式． 【一题多解】由，得．又，所以，所以，所以，所以，故选B． 5.已知实数满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】[来源:学,科,网] 试题分析：作出不等式组不等式的平面区域如图所示，表示的几何意义为区域内的点到点的斜率加上2．因为、，所以，所以由图知或，所以或，即或，故选D． 考点：简单的线性规划问题． 6.若，则的最小值为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 考点：1、对数的运算；2、基本不等式． 7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ） A．计算数列前5项的和 B．计算数列前5项的和 C．计算数列前6项的和 D．计算数列前6项的和 【答案】D 考点：循环结构流程图． 【易错点睛】应用循环结构应注意的三个问题分别为：（1）确定循环变量和初始值；（2）确定算法中反复执行的部分，即循环体；（3）确定循环的终止条件．同时依次计算出每次的循环结果，直到不满足循环条件为止是解答此类问题的常用方法． 8.中，“角成等差数列”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】[来源:] 试题分析：由角成等差数列，得；由，得＝，化简得，所以,或，所以“角成等差数列”是“”的充分不必要条件，故选A． 考点：1、充分条件与必要条件；2、、两角和的正弦函数． 9.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】 试题分析：因为二次三项式对于一切实数恒成立，所以；又，使成立，所以，故只有，即，所以＝，故选D． 考点：1、存在性命题；2、基本不等式；3、不等式恒成立问题． 10.已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和公式． 11.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：由条件知，方程，即在上有解．设，则．因为，所以在有唯一的极值点．因为＝，，，又，所以方程在上有解等价于，所以的取值范围为，故选B． 考点：1、函数极值与导数的关系；2、函数函数的图象与性质． 12.如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C[来源:学&科&网Z&X&X&K] 考点：向量的几何意义． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若实数，且满足，则的大小关系是_____________． 【答案】 【解析】 试题分析：因为，且满足，所以，又，所以，即． 考点：基本不等式． 14.若，则的值为___________． 【答案】0 【解析】 试题分析：由，得，所以或 ．因为，所以，所以＝＋＝＝＝＝． 考点：1、两角和的正弦函数公式；2、同角三角函数间的基本关系；3、二倍角． 15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________． 【答案】80 考点：空间几何体的三视图及体积． 【方法点睛】名求组合体的几何，首先应该知道它是哪些简单几何体组合而成，这就要求必须掌握简单几何体（柱、锥、台、球等）的三视图，只有在掌握简单几何体三视图的基础上才能确定组合体的“组合”，同时注意三视图的作图原则：“长对正，高平齐，宽相等”，由此可确定几何体中各数据． 16.已知函数，若关于的方程有8个不同根，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 试题分析：函数的图像如图所示，因为，所以关于的方程在上有2个根．令，则方程在上有2个不同的正解，所以，解得． 考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根． 【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程的实根个数问题，即方程的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知，集合，把中的元素从小到大依次排成一列，得到数列．　 （1）求数列的通项公式； （2）记，设数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析． （2）∵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴ ∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、递推数列；2、数列的通项公式；3、裂项法求数列的和． 18.（本小题满分12分）已知向量，记．　 （1）若，求的值；　 （2）在锐角中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 所以，又因为， 故函数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、两角和的正弦函数；2、倍角公式；3、正弦定理；4、正弦函数的图象与性质． 【思路点睛】第一问解答时，要注意分析结论中的角与条件中角的关系，合理选择变换策略达到求值的目的；第二问解答时，求得内角的值是关键，结合三角形形状得到函数的定义域，问题就容易解答了，常见的错误是不少考生由于审题不够仔细，漏掉，实在可惜． 19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，平面侧面，且． （1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的大小． 【答案】（1）见解析；（2）． 所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 因为三棱柱是直三棱柱， 则底面，所以． 又，从而侧面， 又侧面，故．．．．．．．．．．．．．．．．6分 解法二（向量法）：由（1）知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则 考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、线段垂直的性质定理；3、二面角． 【技巧点睛】破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在． 20.（本小题满分12分）已知函数． （1）若曲线 上点处的切线过点，求函数的单调减区间； （2）若函数在上无零点，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． （2）因为在区间上恒成立不可能， 故要使函数在上无零点，只要对任意的恒成立， 即对恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令， 则．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 再令， 则， 故在上为减函数，于是， 从而，，于是在上为增函数，所以， 故要使恒成立，只要， 综上，若函数在上无零点，则的最小值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性． 【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解． 21.（本小题满分12分）已知，二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设． （1）求的值； （2）若存在一条与轴垂直的直线和函数的图象相切，且切点的横坐标满足，求实数的取值范围； （3）当实数取何值时，函数存在极值？并求出相应的极值点． 【答案】（1）；（2）；（3）若时，，函数极小值点为；若时，当时，函数极小值点为，极大值点为（其中，） （3）的定义域为， ∴ 方程 （*）的判别式 ． ①若时，，方程（*）的两个实根为，或， 则时，；时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增， 考点：1、不等式的解法；2、方程的根；3、导数的几何意义；4、函数极值与导数的关系． 请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 已知四边形为圆的内接四边形，且，其对角线与相交于点，过点作圆的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、弦切角定理． 23.本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上． （1）若直线与曲线交于两点，求的值； （2）求曲线的内接矩形的周长的最大值． 【答案】（1）2；（2）16． 【解析】 试题分析：（1）求出曲线的普通方程和焦点坐标，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义，即可得到结果；（2）用椭圆参数方程设矩形的四点，面积用三角函数表示，再利用三角函数的有界性求解． 试题解析：（1）已知曲线 的标准方程为，则其左焦点为． 则，将直线的参数方程与曲线联立， 得，则．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由曲线的方程为，可设曲线上的定点， 则以为顶点的内接矩形周长为， 因此该内接矩形周长的最大值为16．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点： 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知使不等式成立． （1）求满足条件的实数的集合； （2）若，对，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）；（2）6． 考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式．