2021年高考数学（新高考全国Ⅰ卷）含解析版.docx

2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷） 数 学 一、单选题 1.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 答案： B 解析： ，选B. 2.已知，则（ ） A. B. C. D. 答案： C 解析： ，选C. 3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 答案： B 解析： 设母线长为，则. 4.下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 答案： A 解析： 单调递增区间为：，令，故选A. 5.已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 答案： C 解析： 由椭圆定义，，则，故选C. 6.若，则（ ） A. B. C. D. 答案： C 解析： ，故选C. 7.若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 答案： D 解析： 设切点为， ∵，∴， 则切线斜率， 切线方程为， 又∵在切线上以及上， 则有， 整理得， 令， 则， ∴在单调递减，在单调递增， 则在时取到极小值即最小值， 又由已知过可作的两条切线， 等价于有两个不同的零点， 则，得， 又当时，，则， ∴， 当时，有， 即有两个不同的零点. ∴. 8.有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（ ） A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 答案： B 解析： 由题意知，两点数和为的所有可能为：，，，，， 两点数和为的所有可能为：，，，，，， ∴，，，， ，，，， 故，B正确，故选B. 二、多选题 9.有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，为非零常数，则（ ） A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同 答案： C、D 解析： 对于A选项：，，∴，∴A错误； 对于B选项：可假设数据样本中位数为，由可知数据样本的中位数为，∴B错误； 对于C选项： ，∴C正确； 对于D选项：∵，∴两组样本数据极差相同，∴D正确。 10.已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 答案： A、C 解析： ，，∴A正确； ， ，,∴B错； ，，∴C正确； ，， ∴D错. 11.已知点在圆上，点，，则（ ） A.点到直线的距离小于 B.点到直线的距离大于 C.当最小时， D.当最大时， 答案： A、C、D 解析： 由已知易得直线的方程为. 圆心到直线的距离， ∴直线与圆相离， 则到的距离的取值范围为， 又， 则A正确，B错误， 由图易得， 当在点处时，与圆相切， 此时最小， ，， ∴， 同理当在点处，最大， 此时. 故C、D正确. 12.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A.当时，的周长为定值 B.当时，三棱锥的体积为定值 C.当时，有且仅有一个点，使得 D.当时，有且仅有一个点，使得平面 答案： B、D 解析： 对于A，当时，，∴，此时在线段上运动，此时的周长不为定值，A错. 对于B，当时，，此时在线段上运动, 平面，点到平面的距离即为点到平面的距离， 为定值，B正确. 对于C，当时，，分别取，的中点，此时在线段上运动，要使，只需在平面上的射影与垂直，此时在或的位置，有两个，C错误. 对于D，时，，分别取的中点，则在线段上运动，∵正三棱柱中，，，要使得平面，只需在平面上的射影与垂直，有且只有一个点即为点时，满足题意，D正确. 三、填空题 13.已知函数是偶函数，则 . 答案： 解析： 因为为偶函数，则，即，整理则有 ，故. 14.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且.若，则的准线方程为 . 答案： 解析： 因为垂直轴，故点坐标为，又因为，则，即，故，则准线方程为. 15.函数的最小值为 . 答案： 解析： 当时，，，时，，时，，在上单调递减，在上单调递增，当时，，函数单调递减，综上，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数最小值为. 16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸，对折次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推.则对折次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 . 答案： 解析： （1）易知有，，，，，共种规格. （2）由题可知对折次共有种规格，且面积为，故，则，记，则，故 ，则，故 . 四、解答题 17.已知数列满足，. （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前项和. 答案： 见解析； 解析： （1），，， ， ∴是以为公差的等差数列，∴. （2）， ，∴. 18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题.每位参加比赛的同学先在 两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束.类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分；类问题中的每个问题 回答正确得分，否则得分. 已知小明能正确回答类问题的概率为， 能正确回答类问题的概率为， 且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 答案： 见解析； 解析： （1）若小明先回答问题，记为小明累计得分，则的取值可能为：，，，因为各题互相独立，由分步完成原理得，，，列表如下： 则的数学期望. （2）若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的取值可能为，，，因为各题互相独立，由独立性原理知，，，列表如下： 先答类，则的数学期望为：， 由（1）知，∴小明先选B类问题作答. 19.记的内角的对边分别为.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 答案： 见解析； 解析： （1）由，根据正弦定理可得，∴， 又，∴，∴. （2），，又由（1） ，， ，∴， ∴，，∴或， 或（舍），∴. 20.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 答案： 见解析 解析： （1）平面平面，平面平面，∵，为中点，∴，平面，∴平面，平面，∴. （2）方法一：取中点，∵为正三角形，∴，过作与交于点，则，∴，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，，，设，则，平面，∴平面的法向量为，，∴，不妨设，则，，则，二面角的大小为，∴，∴， ，∴，∴. 方法二：过作交于点，再过作交于点，显然这样会有平面，而这个正三角形加上，可知，意味着，同时很自然的也会有，而二面角很显然就是，这个是，说明， 综合上面的条件，会得到，然后，再然后，故，同时，得到，那么就有. 21.在平面直角坐标系中，已知点，，点满足.记的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 答案： 见解析 解析： （1），，，， 表示双曲线的右支，的方程为. （2）设，设直线的方程为：，，， ， ， ∴， 设，同理可得， ∴，∴， ∵，∴，. 22.已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 答案： 见解析 解析： （1），令， 当，，单调递增；当时，，单调递减. （2），∴， 令，，即证，∴， 令，，令， 当，，单调递增；当时，，单调递减. ∵，∴，， 要证，即证，即证， 令，， ，单调递增，∴，左边证毕！再证右边：∵，要证，即证， 令，，∴， ∴在上单调递增，∴，∴，证毕！