2020年江苏高考数学试题及答案.doc

绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式： 柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1.已知集合，则_____. 2.已知是虚数单位，则复数的实部是_____. 3.已知一组数据的平均数为4，则的值是_____. 4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 5.如图是一个算法流程图，若输出的值为，则输入的值是_____. 6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是____. 7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 8.已知 =，则的值是____. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm. 10.将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____. 11.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______． 12.已知，则的最小值是_______． 13.在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 14.在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点． （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1． 16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）在边BC上取一点D，使得，求的值． 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米. （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低? 18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B． （1）求△AF1F2的周长； （2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值； （3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标． 19.已知关于x的函数与在区间D上恒有． （1）若，求h(x)的表达式； （2）若，求k的取值范围； （3）若求证：． 20.已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ–k”数列． （1）若等差数列是“λ–1”数列，求λ的值； （2）若数列是“”数列，且an＞0，求数列的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ–3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 数学Ⅱ(附加题) 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4-2：矩阵与变换] 21.平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点． （1）求实数，的值； （2）求矩阵的逆矩阵． B．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22.在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）． （1）求，的值 （2）求出直线与圆的公共点的极坐标． C．[选修4-5：不等式选讲] 23.设，解不等式． 【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 24.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn． （1）求p1·q1和p2·q2； （2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ． 答案解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1.已知集合，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据集合交集即可计算. 【详解】∵, ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型． 2.已知是虚数单位，则复数的实部是_____. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【详解】∵复数 ∴ ∴复数的实部为3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题． 3.已知一组数据的平均数为4，则的值是_____. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据平均数的公式进行求解即可． 【详解】∵数据的平均数为4 ∴，即. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础． 4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】 分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】根据题意可得基本事件数总为个. 点数和为5的基本事件有，，，共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为. 故答案为：. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.如图是一个算法流程图，若输出的值为，则输入的值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据指数函数的性质，判断出，由此求得的值. 【详解】由于，所以，解得. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题. 6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据渐近线方程求得，由此求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 【答案】 【解析】 【分析】 先求，再根据奇函数求 【详解】，因为为奇函数，所以 故答案为： 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 8.已知 =，则的值是____. 【答案】 【解析】 【分析】 直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm. 【答案】 【解析】 【分析】 先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 【详解】正六棱柱体积为 圆柱体积为 所求几何体体积为 故答案为： 【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 10.将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】 【解析】 【分析】 先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】 当时 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 11.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】 结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意. 等差数列的前项和公式为， 等比数列的前项和公式为， 依题意，即， 通过对比系数可知，故. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题. 12.已知，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】∵ ∴且 ∴，当且仅当，即时取等号. ∴的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 13.在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】∵三点共线， ∴可设， ∵， ∴，即， 若且，则三点共线， ∴，即， ∵，∴， ∵,,， ∴， 设，，则，. ∴根据余弦定理可得，， ∵， ∴，解得， ∴的长度为. 当时， ，重合，此时的长度为， 当时，，重合，此时，不合题意，舍去. 故答案为：0或. 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出． 14.在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值. 【详解】 设圆心到直线距离为，则 所以 令（负值舍去） 当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为， 故答案为： 【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点． （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】 （1）通过证明，来证得平面. （2）通过证明平面，来证得平面平面. 【详解】（1）由于分别是的中点，所以. 由于平面,平面，所以平面. （2）由于平面，平面，所以. 由于，所以平面, 由于平面，所以平面平面. 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题. 16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）在边BC上取一点D，使得，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得. （2）根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值. 【详解】（1）由余弦定理得，所以. 由正弦定理得. （2）由于，，所以. 由于，所以，所以 所以 . 由于，所以. 所以. 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题. 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米. （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低? 【答案】（1）120米（2）米 【解析】 【分析】 （1）根据A,B高度一致列方程求得结果； （2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 【详解】（1）由题意得 米 （2）设总造价为万元，，设， (0舍去) 当时，；当时，，因此当时，取最小值， 答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低. 【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B． （1）求△AF1F2的周长； （2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值； （3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标． 【答案】（1）6；（2）-4；（3）或. 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆定义可得，从而可求出的周长； （2）设，根据点在椭圆上，且在第一象限，，求出，根据准线方程得点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值； （3）设出设，点到直线的距离为，由点到直线的距离与，可推出，根据点到直线的距离公式，以及满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标. 【详解】（1）∵椭圆的方程为 ∴, 由椭圆定义可得：. ∴的周长为 （2）设，根据题意可得. ∵点在椭圆上，且在第一象限， ∴ ∵准线方程为 ∴ ∴，当且仅当时取等号. ∴的最小值为. （3）设，点到直线的距离为. ∵， ∴直线的方程为 ∵点到直线的距离为， ∴ ∴ ∴① ∵② ∴联立①②解得，. ∴或. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据推出是解答本题的关键. 19.已知关于x的函数与在区间D上恒有． （1）若，求h(x)的表达式； （2）若，求k的取值范围； （3）若求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）证明详见解析 【解析】 【分析】 （1）求得与的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得的表达式. （2）先由，求得的一个取值范围，再由，求得的另一个取值范围，从而求得的取值范围. （3）先由，求得的取值范围，由方程的两个根，求得的表达式，利用导数证得不等式成立. 【详解】（1）由题设有对任意的恒成立. 令，则，所以. 因此即对任意的恒成立， 所以，因此. 故. （2）令，. 又. 若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意. 当时，，符合题意. 当时， 在上递减，在上递增，则， 即，符合题意. 综上所述，. 由 当，即时，在为增函数， 因为， 故存在，使，不符合题意. 当，即时，，符合题意. 当，即时，则需，解得. 综上所述，的取值范围是. （3）因为对任意恒成立， 对任意恒成立， 等价于对任意恒成立. 故对任意恒成立 令， 当，， 此时， 当，， 但对任意的恒成立. 等价于对任意的恒成立. 的两根为， 则， 所以. 令，则. 构造函数，， 所以时，，递减，. 所以，即. 【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20.已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ–k”数列． （1）若等差数列是“λ–1”数列，求λ的值； （2）若数列是“”数列，且an＞0，求数列的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ–3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】 （1）根据定义得，再根据和项与通项关系化简得，最后根据数列不为零数列得结果； （2）根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，即得； （3）根据定义得，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果 【详解】（1） （2） ， （3）假设存在三个不同的数列为数列. 或 或 ∵对于给定的，存在三个不同的数列为数列，且 或有两个不等的正根. 可转化为，不妨设，则有两个不等正根，设. ① 当时，，即，此时，，满足题意. ② 当时，，即，此时，，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去. 综上， 【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题. 数学Ⅱ(附加题) 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4-2：矩阵与变换] 21.平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点． （1）求实数，的值； （2）求矩阵的逆矩阵． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数的值； （2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解. 【详解】（1）∵平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点 ∴ ∴，解得 （2）设，则 ∴，解得 ∴ 【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题． B．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22.在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）． （1）求，的值 （2）求出直线与圆的公共点的极坐标． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 (1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 【详解】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系， ， 因为点为直线上，故其直角坐标方程为， 又对应的圆的直角坐标方程为：， 由解得或， 对应的点为，故对应的极径为或. （2）， ， 当时； 当时，舍；即所求交点坐标为当 【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题. C．[选修4-5：不等式选讲] 23.设，解不等式． 【答案】 【解析】 【分析】 根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果 【详解】或或 或或 所以解集为 【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 24.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果； （2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果. 详解】 （1）连 以为轴建立空间直角坐标系，则 从而直线与所成角的余弦值为 （2）设平面一个法向量为 令 设平面一个法向量为 令 因此 【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题. 25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn． （1）求p1·q1和p2·q2； （2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果； （2）根据操作，依次求，即得递推关系，构造等比数列求得，最后根据数学期望公式求结果. 【详解】（1）， ， （2）， ， 因此， 从而， 即. 又的分布列为 0 1 2 故. 【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.