2017年北京高考理科数学试题及答案.doc

绝密★启封并使用完毕前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合A={x|－2<x<1}，B={x|x<－1或x>3}，则AᴨB= （A）{x|－2<x<－1} （B）{x|－2<x<3} （C）{x|－1<x<1} （D）{x|1<x<3} （2）若复数（1－i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 （A）(–∞，1) （B）(–∞，－1) （C）(1，+∞) （D）(–1，+∞) （3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （A）2 （B） （C） （D） （4）若x，y满足 x≤3， x + y ≥2，则x + 2y的最大值为 y≤x， （A）1 （B）3 （C）5 （D）9 （5）已知函数，则 （A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数 （C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数 （6）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （A）3 （B）2 （C）2 （D）2 （8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） （A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）1093 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）若双曲线的离心率为，则实数m=_______________. （10）若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=__________. （11）在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为 . （12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。若，则= . （13）能够说明“设a，b，c是任意实数.若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________. （14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。 ①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________。 ②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________。 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分） 在△ABC中， =60°，c= a. （Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）若a=7,求△ABC的面积. （16）（本小题14分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4. (I)求证：M为PB的中点； (II)求二面角B-PD-A的大小； (III)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。 （17）（本小题13分） 为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“* ”表示服药者，“+”表示为服药者. （Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率； （Ⅱ）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）； （Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论） （18）（本小题14分） 已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B，其中O为原点. （Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A为线段BM的中点. （19）（本小题13分） 已知函数f(x)=excosx−x. （Ⅰ）求曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值. （20）（本小题13分） 设{an}和{bn}是两个等差数列，记 cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…)， 其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数． （Ⅰ）若an=n，bn=2n–1，求c1,c2,c3的值，并证明{cn}是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，；或者存在正整数m，使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列． 2017年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）答案 一、 （1）A （2）B （3）C （4）D （5）A （6）A （7）B （8）D 二、 （9）2 （10）1 （11）1 （12） （13）（答案不唯一） （14）Q1 p2 三、 （15）（共13分） 解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，， 所以由正弦定理得. （Ⅱ）因为，所以. 由余弦定理得， 解得或（舍）. 所以△ABC的面积. （16）（共14分） 解：（I）设交点为，连接. 因为平面，平面平面，所以. 因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点. （II）取的中点，连接，. 因为，所以. 又因为平面平面，且平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为是正方形，所以. 如图建立空间直角坐标系，则，，， ，. 设平面的法向量为，则，即. 令，则，.于是. 平面的法向量为，所以. 由题知二面角为锐角，所以它的大小为. （III）由题意知，，. 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （17）（共13分） 解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人， 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为. （Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C. 所以的所有可能取值为0,1,2. . 所以的分布列为 0 1 2 故的期望. （Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差. （18）（共14分） 解：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得. 所以抛物线C的方程为. 抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为. （Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，. 由，得. 则，. 因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为. 直线ON的方程为，点B的坐标为. 因为 ， 所以. 故A为线段BM的中点. （19）（共13分） 解：（Ⅰ）因为，所以. 又因为，所以曲线在点处的切线方程为. （Ⅱ）设，则. 当时，， 所以在区间上单调递减. 所以对任意有，即. 所以函数在区间上单调递减. 因此在区间上的最大值为，最小值为. （20）（共13分） 解：（Ⅰ） ， . 当时，， 所以关于单调递减. 所以. 所以对任意，于是， 所以是等差数列. （Ⅱ）设数列和的公差分别为，则 . 所以 ①当时，取正整数，则当时，，因此. 此时，是等差数列. ②当时，对任意， 此时，是等差数列. ③当时， 当时，有. 所以 对任意正数，取正整数， 故当时，. 11