2017年高考真题数学【文】(山东卷)（原卷版).docx

2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文科数学 一、选择题 1．(2017·山东文，1)设集合M＝{x||x－1|<1}，N＝{x|x<2}，则M∩N等于(　　) A．(－1,1) B．(－1,2) C．(0,2) D．(1,2) 2．(2017·山东文，2)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2等于(　　) A．－2i B．2i C．－2 D．2 3．(2017·山东文，3)已知x，y满足约束条件 则z＝x＋2y的最大值是(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 4．(2017·山东文，4)已知cos x＝，则cos 2x等于(　　) A．－ B． C．－ D． 5．(2017·山东文，5)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是(　　) A．p∧q B．p∧綈q C．綈p∧q D．綈p∧綈q 6．(2017·山东文，6)执行下侧的程序框图，当输入的x值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为(　　) A．x>3 B．x>4 C．x≤4 D．x≤5 7．(2017·山东文，7)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π 8．(2017·山东文，8)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为(　　) A．3,5 B．5,5 C．3,7 D．5,7 9．(2017·山东文，9)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 10．(2017·山东文，10)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是(　　) A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2 C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x 二、填空题 11．(2017·山东文，11)已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________. 12．(2017·山东文，12)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________． 13．(2017·山东文，13)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________． 14．(2017·山东文，14)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________. 15．(2017·山东文，15)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________． 三、解答题 16．(2017·山东文，16)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游． (1)若从这6个国家中任选2个 ，求这2个国家都是亚洲国家的概率； (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率． 17．(2017·山东文，17)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，·＝－6，S△ABC＝3，求A和a. 18．(2017·山东文，18)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD. (1)证明：A1O∥平面B1CD1； (2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1. 19．(2017·山东文，19)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn. 20．(2017·山东文，20)已知函数f(x)＝x3－ax2，a∈R. (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程； (2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 21．(2017·山东文，21)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2. (1)求椭圆C的方程； (2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值． 参考答案 一、选择题 1．【答案】C 【解析】∵M＝{x|0<x<2}，N＝{x|x<2}， ∴M∩N＝{x|0＜x＜2}∩{x|x＜2}＝{x|0＜x＜2}． 故选C. 2．【答案】A 【解析】方法一　z＝＝＝1－i， z2＝(1－i)2＝－2i. 方法二　(zi)2＝(1＋i)2，－z2＝2i，z2＝－2i.故选A. 3．【答案】D 【解析】画出可行域(如图阴影部分所示)． 画直线l0：x＋2y＝0，平移直线l0到直线l的位置，直线l过点M. 解方程组得点M(－1,2)， ∴当x＝－1，y＝2时，z取得最大值，且zmax＝－1＋2×2＝3. 故选D. 4．【答案】D 【解析】cos 2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝. 故选D. 5．【答案】B 【解析】∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1＜0， ∴x2－x＋1＞0恒成立， ∴p为真命题，綈p为假命题． ∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2＜(－2)2，但－1＞－2， ∴q为假命题，綈q为真命题． 根据真值表可知p∧綈q为真命题，p∧q，綈p∧q，綈p∧綈q为假命题． 故选B. 6．【答案】B 【解析】输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x＞4. 故选B. 7．【答案】C 【解析】y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，T＝＝π. 故选C. 8．【答案】A 【解析】甲组数据的中位数为65，由甲、乙两组数据的中位数相等得y＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等， ∴×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故选A. 9．【答案】C 【解析】若0＜a＜1，由f(a)＝f(a＋1)， 得＝2(a＋1－1)， ∴a＝，∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6. 若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)， 得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解． 综上，f＝6. 故选C. 10．【答案】A 【解析】若f(x)具有性质M，则[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]＞0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)＞0在f(x)的定义域上恒成立． 对于选项A，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)＞0，符合题意． 经验证，选项B，C，D均不符合题意． 故选A. 二、填空题 11．【答案】－3 【解析】∵a∥b，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3. 12．【答案】8 【解析】∵直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)， ∴＋＝1， ∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋ ≥4＋2＝8， 当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立． 故2a＋b的最小值为8. 13．【答案】2＋ 【解析】该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个半径为1，高为1的圆柱体构成， ∴V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋. 14．【答案】6 【解析】∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)， ∴f(x)是周期为6的周期函数， ∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)． 又f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6. 15．【答案】y＝±x 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， ∴y1＋y2＝. 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|， ∴y1＋＋y2＋＝4×，∴y1＋y2＝p， ∴＝p，即＝，∴＝， ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x. 三、解答题 16．解　(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个． 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个， 则所求事件的概率为P＝＝. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个． 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有： {A1，B2}，{A1，B3}，共2个， 则所求事件的概率为P＝. 17．解　因为·＝－6，所以bccos A＝－6. 又S△ABC＝3，所以bcsin A＝6. 因此tan A＝－1. 又0<A<π，所以A＝. 又b＝3，所以c＝2. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 得a2＝9＋8－2×3×2×＝29， 所以a＝. 18．证明　(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1， 由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1∥OC，A1O1＝OC， 因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C. 又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1， 所以A1O∥平面B1CD1. (2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点， 所以EM⊥BD. 又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以A1E⊥BD. 因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1. 又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E， 所以B1D1⊥平面A1EM. 又B1D1⊂平面B1CD1， 所以平面A1EM⊥平面B1CD1. 19．解　(1)设{an}的公比为q， 由题意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2， 又an>0，由以上两式联立方程组解得a1＝2，q＝2， 所以an＝2n. (2)由题意知S2n＋1＝ ＝(2n＋1)bn＋1， 又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0， 所以bn＝2n＋1. 令cn＝，则cn＝， 因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝＋＋＋…＋＋， 又Tn＝＋＋＋…＋＋， 两式相减得Tn＝＋－， 所以Tn＝5－. 20．解　(1)由题意f′(x)＝x2－ax， 所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x， 所以f′(3)＝3， 因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是 y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0. (2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x， 所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x ＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)． 令h(x)＝x－sin x， 则h′(x)＝1－cos x≥0， 所以h(x)在R上单调递增． 因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0； 当x<0时，h(x)<0. ①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)， 当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(a,0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以当x＝a时，g(x)取到极大值， 极大值是g(a)＝－a3－sin a； 当x＝0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)＝－a. ②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)， 当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增； 所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值． ③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)， 当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以当x＝0时，g(x)取到极大值， 极大值是g(0)＝－a； 当x＝a时，g(x)取到极小值， 极小值是g(a)＝－a3－sin a. 综上所述： 当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)＝－a3－sin a，极小值是g(0)＝－a； 当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值； 当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－a3－sin a. 21．解　(1)由椭圆的离心率为，得a2＝2(a2－b2)， 又当y＝1时，x2＝a2－，得a2－＝2， 所以a2＝4，b2＝2. 因此椭圆方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立方程，得 得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0. 由Δ>0，得m2<4k2＋2，(*) 且x1＋x2＝－， 因此y1＋y2＝， 所以D. 又N(0，－m)， 所以|ND|2＝2＋2， 整理得|ND|2＝. 因为|NF|＝|m|， 所以＝＝1＋. 令t＝8k2＋3，t≥3， 故2k2＋1＝. 所以＝1＋＝1＋. 令y＝t＋，所以y′＝1－. 当t≥3时，y′>0， 从而y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增， 因此t＋≥， 当且仅当t＝3时等号成立，此时k＝0， 所以≤1＋3＝4. 由(*)得－<m<且m≠0， 故≥. 设∠EDF＝2θ，则sin θ＝≥， 所以θ的最小值为， 从而∠EDF的最小值为， 此时直线l的斜率是0. 综上所述，当k＝0，m∈(－，0)∪(0，)时，∠EDF取到最小值.