2017年海南省高考数学试题及答案（理科）.doc

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（ ） A． B． C． D． 2.设集合，．若，则（ ） A． B． C． D． 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 5.设，满足约束条件，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 11.若是函数的极值点，则的极小值为（ ） A. B. C. D.1 12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 ． 14.函数（）的最大值是 ． 15.等差数列的前项和为，，，则 ． 16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分） 的内角的对边分别为 ,已知． (1)求 (2)若 , 面积为2,求 18.（12分） 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下： （1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率； （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01） P（） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19.（12分） 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点. （1）证明：直线 平面PAB （2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值 20. （12分） 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足. (1) 求点P的轨迹方程； (2) 设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 21.（12分） 已知函数且. （1）求a； （2）证明：存在唯一的极大值点，且. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值． 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知，证明： （1）； （2）． 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案 一、选择题 1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题 13. 1.96 14. 1 15. 16. 6 三、解答题 17.解： （1）由题设及，故 上式两边平方，整理得 解得 （2）由，故 又 由余弦定理学 科&网及得 所以b=2 18.解： （1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于” ，表示事件“新养殖法的箱产量不低于” 由题意知 旧养殖法的箱产量低于的频率为 故的估计值为0.62 新养殖法的箱产量不低于的频率为 故的估计值为0.66 因此，事件A的概率估计值为 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 箱产量 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 由于 故有的把握认为箱产量与养殖方法有关． （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为 ， 箱产量低于的直方图面积为 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 ． 19.解： （1）取中点，连结，． 因为为的中点，所以,,由得，又 所以．四边形为平行四边形， ． 又，，故 （2） 由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 则，，，， ,则 因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以 ， 即（x-1）²+y²-z²=0 又M在棱PC上，学|科网设 由①，②得 所以M，从而 设是平面ABM的法向量，则 所以可取m=（0，-，2）.于是 因此二面角M-AB-D的余弦值为 20.解 （1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）, 由得 因为M（x0,y0）在C上，所以 因此点P的轨迹方程为 （2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则 ， 由得，又由（1）知，故 3+3m-tn=0 所以，即.学.科网又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 21.解： （1）的定义域为 设，则等价于 因为 若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故 综上，a=1 （2）由（1）知 设 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增 又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，. 因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点 由 由得 因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得 所以 22.解： （1）设P的极坐标为，M的极坐标为，由题设知 由得的极坐标方程 因此的直角坐标方程为 （2）设点B的极坐标为,由题设知 ,于是△OAB面积 当时，S取得最大值 所以△OAB面积的最大值为 23.解： （1） （2）因为 所以，因此a+b≤2.