2016年北京高考文科数学试题及答案.doc

2016年北京市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　 一．选择题（共8小题） 1．（2016•北京）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（　　） A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5} 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题；转化思想；综合法；集合． 【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B． 【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}， ∴A∩B={x|2＜x＜3}． 故选：C． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用． 　 2．（2016•北京）复数=（　　） A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题；转化思想；数系的扩充和复数． 【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案． 【解答】解：===i， 故选：A 【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题． 　 3．（2016•北京）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　） A．8 B．9 C．27 D．36 【考点】程序框图． 【专题】计算题；操作型；算法和程序框图． 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1， 当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2， 当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3， 当k=3时，不满足进行循环的条件， 故输出的S值为9， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． 　 4．（2016•北京）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（　　） A．y= B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x 【考点】函数单调性的判断与证明． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项． 【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大； ∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误； B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误； C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误； D.； ∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确． 故选D． 【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算． 　 5．（2016•北京）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（　　） A．1 B．2 C． D．2 【考点】圆的标准方程；点到直线的距离公式． 【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆． 【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解． 【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0）， ∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为： d==． 故选：C． 【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用． 　 6．（2016•北京）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】概率与统计． 【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率． 【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人， 基本事件总数n==10， 甲被选中包含的基本事件的个数m==4， ∴甲被选中的概率p===． 故选：B． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 　 7．（2016•北京）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（　　） A．﹣1 B．3 C．7 D．8 【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式． 【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可． 【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上， 令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值， 可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7． 故选：C． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键． 　 8．（2016•北京）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊． 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a﹣1 b 65 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（　　） A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】探究型；简易逻辑；推理和证明． 【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论． 【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人， 故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛， 又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人， 则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛， 剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛， 故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键． 　 二．填空题（共6小题） 9．（2016•北京）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为　　． 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】计算题；定义法；平面向量及应用． 【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案． 【解答】解：∵向量=（1，），=（，1）， ∴与夹角θ满足： cosθ===， 又∵θ∈[0，π]， ∴θ=， 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键． 　 10．（2016•北京）函数f（x）=（x≥2）的最大值为　2　． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值． 【解答】解：； ∴f（x）在[2，+∞）上单调递减； ∴x=2时，f（x）取最大值2． 故答案为：2． 【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法． 　 11．（2016•北京）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为　　． 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱， 棱柱的底面面积S=×（1+2）×1=， 棱柱的高为1， 故棱柱的体积V=， 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 　 12．（2016•北京）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=　1　，b=　2　． 【考点】双曲线的标准方程． 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b． 【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0）， ∴， 解得a=1，b=2． 故答案为：1，2． 【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用． 　 13．（2016•北京）在△ABC中，∠A=，a=c，则=　1　． 【考点】正弦定理的应用． 【专题】计算题；规律型；转化思想；解三角形． 【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可． 【解答】解：在△ABC中，∠A=，a=c， 由正弦定理可得：， =，sinC=，C=，则B==． 三角形是等腰三角形，B=C，则b=c， 则=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力． 　 14．（2016•北京）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有　16　种； ②这三天售出的商品最少有　29　种． 【考点】容斥原理；集合的包含关系判断及应用． 【专题】计算题；转化思想；综合法；集合． 【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数． 【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C， 如图， 则第一天售出但第二天未售出的商品有16种； ②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种， 当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种． 故答案为：①16；②29． 【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题． 　 三．解答题（共6小题） 15．（2016•北京）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4． （1）求{an}的通项公式； （2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和． 【考点】等差数列与等比数列的综合． 【专题】方程思想；分析法；等差数列与等比数列． 【分析】（1）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式； （2）求得cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和． 【解答】解：（1）设{an}是公差为d的等差数列， {bn}是公比为q的等比数列， 由b2=3，b3=9，可得q==3， bn=b2qn﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1； 即有a1=b1=1，a14=b4=27， 则d==2， 则an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1， 则数列{cn}的前n项和为 （1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+ =n2+． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题． 　 16．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求ω的值； （2）求f（x）的单调递增区间． 【考点】复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法． 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质． 【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值； （2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间． 【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx =sin2ωx+cos2ωx==． 由T=，得ω=1； （2）由（1）得，f（x）=． 再由，得． ∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）． 【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题． 　 17．（2016•北京）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图： （1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？ （2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费． 【考点】频率分布直方图；随机抽样和样本估计总体的实际应用． 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计． 【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米． （2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费． 【解答】解：（1）由频率分布直方图得： 用水量在[0.5，1）的频率为0.1， 用水量在[1，1.5）的频率为0.15， 用水量在[1.5，2）的频率为0.2， 用水量在[2，2.5）的频率为0.25， 用水量在[2.5，3）的频率为0.15， 用水量在[3，3.5）的频率为0.05， 用水量在[3.5，4）的频率为0.05， 用水量在[4，4.5）的频率为0.05， ∵用水量小于等于3立方米的频率为85%， ∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米， ∴w至少定为3立方米． （2）当w=3时，该市居民的人均水费为： （0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5， ∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元． 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当w=3时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用． 　 18．（2016•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC． （1）求证：DC⊥平面PAC； （2）求证：平面PAB⊥平面PAC； （3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由． 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系． 【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC； （2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC； （3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明． 【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD， ∴PC⊥DC， ∵DC⊥AC，PC∩AC=C， ∴DC⊥平面PAC； （2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC， ∴AB⊥AC， ∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PC⊥AB， ∵PC∩AC=C， ∴AB⊥平面PAC， ∵AB⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAC； （3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF． ∵点E为AB的中点， ∴EF∥PA， ∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF， ∴PA∥平面CEF． 【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 19．（2016•北京）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点． （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值． 【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系． 【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e=； （2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2． 【解答】（1）解：∵椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点， ∴a=2，b=1，则， ∴椭圆C的方程为，离心率为e=； （2）证明：如图， 设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=， 取x=0，得； ，PB所在直线方程为， 取y=0，得． ∴|AN|=， |BM|=1﹣． ∴= =﹣== =． ∴四边形ABNM的面积为定值2． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题． 　 20．（2016•北京）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围； （3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理． 【专题】方程思想；分析法；函数的性质及应用；导数的概念及应用． 【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程； （2）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围； （3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a2﹣3b＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f（x）有3个零点． 【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b， 可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b， 切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c； （2）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c， 由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x， 由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2）， 当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增； 当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减． 即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0； g（x）在x=﹣处取得极小值，且为﹣． 由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0， 解得0＜c＜， 则c的取值范围是（0，）； （3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0， 可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点． 即有f（x）有3个单调区间， 即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点， 可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0； 若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点， 当c=0，a=b=4时，满足a2﹣3b＞0， 即有f（x）=x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个． 故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件． 【点评】不同考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考查化简整理的圆能力，属于中档题． 　 第13页（共13页）