2015年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案.docx

2015年高考天津市理科数学真题 一、选择题 1．已知全集，集合，集合，则集合（ ） A． B． C． D． 2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ） A． B． C． D． 4．设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图，在圆中，是弦的三等分点，弦，分别经过点，若，，，则线段的长为（ ） A． B．3 C． D． 6．已知双曲线（）的一条渐近线过点（），且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数函数，其中，若函数恰有个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 ． 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 ． 11．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 ． 12．在的展开式中，的系数为 ． 13．在中，内角所对的边分别为.已知的面积为，，则的值为 ． 14．在等腰梯形中，已知。动点和分别在线段和上，且，则的最小值为 ． 三、解答题 15．已知函数，． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在区间内的最大值和最小值． 16．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名。从这名运动员中随机选择人参加比赛。 （Ⅰ）设为事件“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率； （Ⅱ）设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望． 17．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）设为棱上的点。若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长。 18．已知数列满足（为实数，且），，，，且，，成等差数列。 （Ⅰ）求的值和 的通项公式； （Ⅱ）设，，求数列的前项和． 19．已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，． （Ⅰ）求直线的斜率； （Ⅱ）求椭圆的方程； （Ⅲ）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围。 20．已知函数其中，且. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为， 求证：对于任意的正实数，都有； （Ⅲ）若关于的方程（为实数）有两个正实数根，求证：． 2015年高考天津市理科数学真题答案 一、选择题 1．答案：A 解析过程： ,所以，选A 2．答案：C 解析过程： 不等式所表示的平面区域如下图所示， 当所表示直线经过点时，有最大值，选C 3．答案：B 解析过程： 输入； 不成立； 不成立 成立 输出,选B 4．答案：A 解析过程： ， 所以“”是“”的充分不必要条件，选A 5．答案：A 解析过程： 由相交弦定理可知， ， 又因为是弦的三等分点， 所以， 所以，选A 6．答案：D 解析过程： 双曲线（）的渐近线方程为， 由点在渐近线上，所以， 双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上， 所以，由此可解得， 所以双曲线方程为，选D 7．答案：C 解析过程： 因为函数为偶函数，所以，即， 所以 所以，选C 8．答案：D 解析过程： 由得， 所以， 即 , 所以恰有4个零点等价于方程 有4个不同的解， 即函数与函数的图象的4个公共点， 由图象可知.选D 二、填空题 9．答案：-2 解析过程： 是纯虚数， 所以，即 10．答案： 解析过程： 由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为， 高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥， 所以该几何体的体积. 11．答案： 解析过程： 两曲线的交点坐标为， 所以它们所围成的封闭图形的面积 . 12．答案： 解析过程： 展开式的通项为 ， 由得r=2， 所以，所以该项系数为 13．答案： 解析过程： 因为，所以， 又， 解方程组得，由余弦定理得 ， 所以. 14．答案： 解析过程： 因为， ， ， ， 三、解答题 15．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值，最小值 解析过程： （Ⅰ）解：由题意得 = 所以，的最小正周期 （Ⅱ）解：因为在区间上是减函数， 在区间上是增函数， ，，. 所以，在区间上的最大值为，最小值为.21 16．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析 解析过程： （Ⅰ）解：由题意得 所以，事件发生的概率为. （Ⅱ）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. 所以，随见变量的分布列为 随机变量的数学期望 17．答案： 见解析 解析过程： 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 依题意可得,,, ,. 又因为M,N分别为和的中点，得,. （Ⅰ）证明：依题意，可得为平面的一个法向量. =.由此可得， 又因为直线平面，所以平面． （Ⅱ）解：，． 设为平面的法向量，则 即 不妨设，可得.． 设为平面的法向量，则 又，得 不妨设，可得． 因此有，于是． 所以，二面角的正弦值为。 （Ⅲ）解：依题意，可设，其中， 则，从而． 又为平面的一个法向量， 由已知，得=， 整理得，又因为，解得． 所以，线段的长为． 18．答案： 见解析 解析过程： （Ⅰ）解：由已知，有， 即，所以． 又因为，故，由，得． 当时，； 当时，． 所以，的通项公式为 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得.设的前n项和为， 则 ， ， 上述两式相减，得 整理得，. 所以，数列的前n项和为，． 19．答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ） 解析过程： （Ⅰ）解：由已知有，又由，可得. 设直线的斜率为，则直线的方程为． 由已知，有+，解得． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得椭圆方程为， 直线的方程为， 两个方程联立，消去y，整理得， 解得，或. 因为点M在第一象限，可得M的坐标为.有， 解得，所以椭圆的方程为. （Ⅲ）解：设点P的坐标为，直线FP的斜率为， 得，即， 与椭圆方程联立消去， 整理得． 又由已知，得， 解得，或． 设直线的斜率为，得，即， 与椭圆方程联立，整理可得. ①当时，有， 因此，于是，得. ②当时，有， 因此，于是，得. 综上，直线的斜率的取值范围是. 20．答案：见解析 解析过程： （Ⅰ）解：由=， 可得==， 其中，且. 下面分两种情况讨论： （1）当为奇数时. 令=0，解得，或. 当变化时，，的变化情况如下表： ↘ ↗ ↘ 所以，在，上单调递减，在内单调递增。 （2）当为偶数时. 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减. 所以，在上单调递增，在上单调递减. （Ⅱ）证明：设点的坐标为， 则，. 曲线在点处的切线方程为， 即， 令，即， 则． 由于在上单调递减， 故在上单调递减， 又因为， 所以当时，，当时，， 所以在内单调递增，在上单调递减， 所以对于任意的正实数，都有， 即对于任意的正实数，都有． （Ⅲ）证明：不妨设． 由（Ⅱ）知， 设方程的根为，可得， 当时，在上单调递减． 又由（Ⅱ）知，可得． 类似地，设曲线在原点处的切线方程为， 可得， 当，， 即对于任意的，． 设方程的根为，可得． 因为在上单调递增， 且，因此． 由此可得． 因为，所以， 故.所以，．