2016年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）.doc

绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设，则不等式的解集为_______. 2．设，其中为虚数单位，则z的虚部等于______________________. 3．已知平行直线，则的距离是_______________.[来 4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是_________（米）. 5．若函数的最大值为5，则常数______. 6．已知点在函数的图像上，则. 7．若满足 则的最大值为_______. 8．方程在区间上的解为___________.[来 9．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________. 10．已知△ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________. 11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.[ 12．如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P是曲线上一个动点，则的取值范围是 . 13．设a>0,b>0. 若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是 . 14．无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意，，则k的最大值为 . 二、 选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．设，则“”是“”的（ ）. （A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 16．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）. (A)直线AA1 (B)直线A1B1 (C)直线A1D1 (D)直线B1C1 17．设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（ ）. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 18．设、、是定义域为的三个函数．对于命题：①若、、均是增函数，则、、均是增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）. (A)①和②均为真命题 (B)①和②均为假命题 (C)①为真命题，②为假命题 (D)①为假命题，②为真命题 三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分. 将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积； （2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分. 有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到点或河边运走.于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图. （1） 求菜地内的分界线的方程； （2） 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为.设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点. （1）若l的倾斜角为 ，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率. 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 对于无穷数列{}与{}，记A={|=，}，B={|=，}，若同时满足条件：①{}，{}均单调递增；②且，则称{}与{}是无穷互补数列. （1）若=，=，判断{}与{}是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若=且{}与{}是无穷互补数列，求数列{}的前16项的和； （3）若{}与{}是无穷互补数列，{}为等差数列且=36，求{}与{}的通项公式. 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知R，函数=. （1）当时，解不等式>1； （2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值； （3）设>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 考生注意： 1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地写姓名、转考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设，则不等式的解集为_______. 【答案】 【解析】试题分析：，故不等式的解集为. 考点：绝对值不等式的基本解法. 2．设，其中为虚数单位，则z的虚部等于______________________. 【答案】3 【解析】 试题分析： 考点：1.复数的运算；2.复数的概念. 3．已知平行直线，则的距离是_______________. 【答案】 【解析】试题分析： 利用两平行线间的距离公式得. 考点：两平行线间距离公式. 4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是_________（米）. 【答案】1.76 【解析】试题分析： 将这5位同学的身高按照从低到高排列为：1.69,1.72,1.76,1.78,1.80，这五个数的中位数是1.76. 考点：中位数的概念. 5．若函数的最大值为5，则常数______. 【答案】 【解析】试题分析：，其中，故函数的最大值为，由已知得，，解得. 考点：三角函数 的图象和性质. 6．已知点在函数的图像上，则. 【答案】 考点：反函数的概念以及指、对数式的转化. 7．若满足 则的最大值为_______. 【答案】 【解析】试题分析：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令，当直线经过点时，取得最大值. P O y x 考点：线性规划及其图解法. 8．方程在区间上的解为___________. 【答案】 【解析】试题分析： 化简得：，所以，解得或（舍去），又，所以. 考点：二倍角公式及三角函数求值. 9．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________. 【答案】112 【解析】试题分析： 由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为，即，所以，又二项展开式的通项为，令，所以，所以，即常数项为112. 考点：二项式定理. 10．已知△ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________. 【答案】 【解析】试题分析： 利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为，所以此角的正弦值为，由正弦定理得,所以. 考点：正弦、余弦定理. 11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______. 【答案】 【解析】试题分析： 将4种水果每两种分为一组，有种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为. 考点：古典概型 12．如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P是曲线上一个动点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】试题分析：由题意，设, ，则，又, 所以. 考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想. 13．设a>0,b>0. 若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行，所以且.又，为正数，所以（），即的取值范围是.[ 考点：方程组的思想以及基本不等式的应用. 14．无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意，，则k的最大值为 . 【答案】4 考点：数列的项与和. 三、 选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．设，则“”是“”的（ ）. （B） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】试题分析： ，所以“”是“”的充分非必要条件，选A. 考点：充要条件 16．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）. (A)直线AA1 (B)直线A1B1 (C)直线A1D1 (D)直线B1C1 【答案】D 【解析】试题分析： 只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中的直线与都是异面直线，故选D． 考点：异面直线 17．设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（ ）. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】B 【解析】试题分析：，， 又，， 注意到，只有这两组．故选B． 考点：三角函数 18．设、、是定义域为的三个函数．对于命题：①若、、均是增函数，则、、均是增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）. (A)①和②均为真命题 (B)①和②均为假命题 (C)①为真命题，②为假命题 (D)①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】 试题分析： 考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性. 三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分. 将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积； （2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小. 【答案】（1），；（2）． 【解析】 试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．由此计算即得. （2）由得或其补角为与所成的角，再结合题设条件计算即得． 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径． 圆柱的体积， 圆柱的侧面积． （2）设过点B1的母线与下底面交于点B，则， 所以或其补角为与所成的角． 由长为，可知， 由长为，可知，， 所以异面直线与所成的角的大小为． 考点：1.几何体的体积；2.空间角. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分. 有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到点或河边运走.于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图. （3） 求菜地内的分界线的方程； （4） 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为.设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”. 【答案】（1）（）；（2）矩形面积为，五边形面积为，五边形面积更接近于面积的“经验值”． 【解析】 所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为． 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差 的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”． 考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点. （1）若l的倾斜角为 ，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1）设，根据题设条件可以得到，从而解得的值． （2）设，，直线与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据与双曲线交于两点，可得，且．由|AB|=4构建关于的方程进行求解． 试题解析：（1）设． 由题意，，，， 因为是等边三角形，所以， 即，解得． 故双曲线的渐近线方程为． （2）由已知，． 设，，直线． 由，得． 因为与双曲线交于两点，所以，且． 由，，得， 故， 解得，故的斜率为． 考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.弦长公式. 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 对于无穷数列{}与{}，记A={|=，}，B={|=，}，若同时满足条件：①{}，{}均单调递增；②且，则称{}与{}是无穷互补数列. （1）若=，=，判断{}与{}是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若=且{}与{}是无穷互补数列，求数列{}的前16项的和； （3）若{}与{}是无穷互补数列，{}为等差数列且=36，求{}与{}的通项公式. 【答案】（1）与不是无穷互补数列，理由见解析；（2）；（3），． 【解析】试题分析：（1）直接应用定义“无穷互补数列”的条件验证即得；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式进行求解；（3）先求等差数列{}的通项公式，再求{}的通项公式. 试题解析：（1）因为，，所以， 从而与不是无穷互补数列． （2）因为，所以． 考点：等差数列、等比数列、新定义问题 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知R，函数=. （1）当时，解不等式>1； （2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值； （3）设>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）或；（3）． 【解析】 试题分析：（1）由，得，从而得解． （2）转化得到，讨论当、时的情况即可． （3）讨论在上的单调性，再确定函数在区间上的最大值与最小值之差，由此得到，对任意成立． 试题解析： （1）由，得，解得． （2）有且仅有一解， 函数在区间上的最大值与最小值分别为，． 即，对任意成立． 因为，所以函数在区间上单调递增， 所以时，有最小值，由，得． 故的取值范围为． 考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.