2015年理科数学海南省高考真题含答案.docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷） 理科数学 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B= （A）｛－1，0｝ （B）｛0，1｝ （C）｛-1，0，1｝ （D）｛0，1，2｝ 2.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=－4i，则a = （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2 3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是 （A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B）2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4.等比数列｛an｝满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 = （A）21 （B）42 （C）63 （D）84 5.设函数f(x)=，则f (－2)+ f (log212) = （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 6. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则 截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为 （A） （B） （C） （D） 7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则= （A）2 （B）8 （C）4 （D）10 8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18， 则输出的a= （A）0 （B）2 （C）4 （D）14 9. 已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体 积的最大值为36，则球O的表面积为 （A）36π （B）64π （C）144π （D）256π 10. 如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与 DA运动，∠BOP=x。将动点P到AB两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x） 的图像大致为 11. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为 120°，则E的离心率为 (A) (B)2 (C) (D) 12.设函数f’(x)是奇函数f (x)(x∈R)的导函数，f（-1）=0，当x>0时，x f’(x)－f (x)＜0，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是 (A) (－∞，－1)∪(0，1) (B) (－1，0)∪(1，＋∞) (C) (－∞，－1)∪(－1，0) (D) (0，1)∪(1，＋∞) 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ=________.(用数字填写答案) 14.若x，y满足约束条件，则z= x＋y的最大值为____________.. 15.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________. 16.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=－1，an+1=Sn Sn+1，则Sn=________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） ∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。 (Ⅰ) 求； (Ⅱ) 若AD=1，DC=，求BD和AC的长. 18. （本小题满分12分） 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率 19. （本小题满分12分） 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F。过带你E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求直线AF与平面α所成角的正弦值 20. （本小题满分12分） 已知椭圆C：9x2+ y2 = m2 (m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有 两个交点A，B，线段AB的中点为M. （I）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （II）若l过点(，m),延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？ 若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由. 21. （本小题满分12分） 设函数fx=emx+x2-mx. (Ⅰ)证明：f(x)在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增； （Ⅱ）若对于任意x1, x2∈[-1,1],都有｜f(x1)- f(x2)｜≤e-1,求m的取值范围 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点. （I）证明：EF平行于BC （II） 若AG等于圆O的半径，且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。 23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C1:，其中0≤α＜π ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=cosθ . （I）.求C2与C3交点的直角坐标 （II）.若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值 （24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设a、b、c、d均为正数，且a+b=c+d,证明： （I）若ab＞cd ，则； （II）是的充要条件. （24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设均为正数，且,证明： （I）若，则； （II）是的充要条件. 2015年海南省数学理科高考试题及答案解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ） （A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝ 【答案】A 【解析】由已知得，故，故选A （2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（ ） （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2 【答案】B 【解析】 [来源:Z_xx_k.Com] （3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( ) （A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B） 2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关． （4）等比数列｛an｝满足a1=3， =21，则 ( ) （A）21 （B）42 （C）63 （D）84 【答案】B 【解析】 （5）设函数,( ) （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 【答案】C 【解析】由已知得，又，所以，故 ． （6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为． （7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则= （A）2 （B）8 （C）4 （D）10 【答案】C 【解析】 （8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a= A.0 B.2 C.4 D.14 【答案】B[来源:Z.xx.k.Com] 【解析】程序在执行过程中，，的值依次为，；；；；；，此时程序结束，输出的值为2，故选B． （9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为 A．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C 【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为 ，故选C． 10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为 [来源:学科网] 【答案】B 【解析】 的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B． （11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 （A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2 【答案】D 【解析】 （12）设函数f’(x)是奇函数的导函数，f（-1）=0，当时，，则使得成立的x的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是 ，故选A． 二、填空题 （13）设向量，不平行，向量与平行，则实数_________． 【答案】 【解析】因为向量与平行，所以，则所以． （14）若x，y满足约束条件，则的最大值为____________． 【答案】 （15）的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________． 【答案】 【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得． （16）设是数列的前n项和，且，，则________． 【答案】 【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以． 三．解答题 17．（本题满分12分） 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍． (Ⅰ) 求； (Ⅱ)若，，求和的长． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)． (Ⅱ)因为，所以．在和中，由余弦定理得 ，． ．由(Ⅰ)知，所以． 考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理． 18．（本题满分12分） 某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； A地区 B地区 4 5 6 7 8 9 （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）将两地区用户对产品的满意度评分的个位数分别列与茎的两侧，并根据数字的集中或分散来判断平均值和方差的大小；（Ⅱ）事件“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”分为两种情况：当B地区满意度等级为不满意时，A地区的满意度等级为满意或非常满意；当B地区满意度等级为满意时，A地区满意度等级为非常满意．再利用互斥事件和独立事件的概率来求解． 试题解析：（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下 A地区 B地区 4 5 6 7 8 9 6 8 1 3 6 4 3 2 4 5 5 6 4 2 3 3 4 6 9 6 8 8 6 4 3 3 2 1 9 2 8 6 5 1 1 3 7 5 5 2 表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”． 则与独立，与独立，与互斥，． ． 由所给数据得，，，发生的概率分别为，，，．故， ，，，故． 考点：1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件． 19．（本题满分12分） 如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． D D1 C1 A1 E F A B C B1 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线；（Ⅱ）由交线围成的正方形，计算相关数据．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，并求平面的法向量和直线的方向向量，利用求直线与平面所成角的正弦值． 试题解析：（Ⅰ）交线围成的正方形如图： （Ⅱ）作，垂足为，则，，因为为正方形，所以．于是，所以．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．设是平面的法向量，则即所以可取．又，故．所以直线与平面所成角的正弦值为． 考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角． 20．（本题满分12分） 已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为． (Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，或． 【解析】 试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦的中点和直线的斜率；设直线的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦的中点，并寻找两条直线斜率关系；（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线方程并与椭圆方程联立，求得坐标，利用以及直线过点列方程求的值． 试题解析：(Ⅰ)设直线，，，． 将代入得，故， ．于是直线的斜率，即．所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形能为平行四边形． 因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，． 由(Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．由得，即．将点的坐标代入直线的方程得，因此．四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．于是 ．解得，．因为，，，所以当的斜率为 或时，四边形为平行四边形． 考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系． 21．（本题满分12分） 设函数． (Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增； （Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）． 【解析】 试题分析：(Ⅰ)先求导函数，根据的范围讨论导函数在和的符号即可；（Ⅱ）恒成立，等价于．由是两个独立的变量，故可求研究的值域，由(Ⅰ)可得最小值为，最大值可能是或，故只需，从而得关于的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解． 考点：导数的综合应用． （请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。高三网） 22．（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲 如图，为等腰三角形内一点，圆与的底边交于、两点与底边上的高交于点，与、分别相切于、两点． G A E F O N D B C M （Ⅰ）证明：； （Ⅱ） 若等于的半径，且，求四边形的面积． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由已知得，欲证明，只需证明，由切线长定理可得，故只需证明是角平分线即可；（Ⅱ）连接，，在中，易求得，故和都是等边三角形，求得其边长，进而可求其面积．四边形的面积为两个等边三角形面积之差． 试题解析：（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分线．又因为分别与、相切于、两点，所以，故．从而． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，故是的垂直平分线，又是的弦，所以在上．连接，，则．由等于的半径得，所以．所以和都是等边三角形．因为，所以，． 因为，，所以．于是，．所以四边形的面积． 考点：1．等腰三角形的性质；2、圆的切线长定理；3、圆的切线的性质． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线． （Ⅰ）.求与交点的直角坐标； （Ⅱ）.若与相交于点，与相交于点，求的最大值． 【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）将曲线与的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立与和与的极坐标方程，求得的极坐标，由极径的概念将表示，转化为三角函数的最大值问题处理． 试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与交点的直角坐标为和． （Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为． 考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设均为正数，且，证明： （Ⅰ）若，则； （Ⅱ）是的充要条件． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析． 考点：推理证明． 25