2015年广东高考（理科）数学试题及答案.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 1．若集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i是虚数单位 )，则= A．3-2i B．3+2i C．2+3i D．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A． B． C． D． 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所 取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A．1 B. C. D. 5．平行于直线且与圆相切的直线的方程是 A．或 B. 或 C. 或 D. 或 6．若变量x，y满足约束条件则的最小值为 A． B. 6 C. D. 4 7．已知双曲线C：的离心率e=，且其右焦点F2( 5 , 0 )，则双曲线C的方程为 （ ） A． B. C. D. 8．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值 A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9-13题） 9．在的展开式中，x的系数为 。 10．在等差数列{}中，若，则= 。 11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若a =，sinB=，C=，则b = 。 12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。（用数字作答） 13．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写 了 条毕业留言。（用数字做答） （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为 A(,)，则点A到直线l的距离为 。 15.（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C， BC=1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD= 。 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=（，），n=（sin x，cos x），x∈（0，）。 （1）若m⊥n，求tan x的值 （2）若m与n的夹角为，求x的值。 17． （本小题满分12分） 某工厂36名工人的年龄数据如下表。 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 17 38 18 36 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39 （1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的平均值和方差； （3）36名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？ 18．（本小题满分14分） 如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，，，.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且，. （1）证明：； （2）求二面角的正切值； （3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值. 19．（本小题满分14分） 设a>1，函数。 (1) 求的单调区间 ； (2) 证明：在（，+∞）上仅有一个零点； (3) 若曲线在点P处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,证明： 20．（本小题满分14分） 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点A，B. （1）求圆的圆心坐标； （2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程； （3）是否存在实数，使得直线与曲线C只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分） 数列满足 , . (1) 求的值； (2) 求数列前n项和Tn； (3) 令，（），证明：数列{}的前n项和 满足 2015广东高考数学（理）试题（参考答案） 1、A 2、D 3、A 4、C 5、D 6、C 7、B 8、C 9、6　　10、10　　11、1　　12、1560　　13、　　　　15、8 16、 以下为选择填空解析！ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1.若集合，则 【答案】D 【解析】， 2.若复数（是虚数单位），则 【答案】A 【解析】， 3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 【答案】D 【解析】A和C选项为偶函数，B选项为奇函数， D选项为非奇非偶函数 4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为 【答案】B 【解析】 5. 平行于直线且与圆相切的直线的方程是 【答案】A 【解析】设所求直线为，因为圆心坐标为（0，0），则由直线与圆相切可得 ，解得，所求直线方程为 6. 若变量满足约束条件，则的最小值为 【答案】B 【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标 函数，则当目标函数过点（1，）， 取最小值为 7. 已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为 【答案】C 【解析】由双曲线右焦点为，则c=5， ，所以双曲线方程为 8. 若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值 【答案】B 【解析】当时，正三角形的三个顶点符合条件；当时，正四面体的四个顶点符合条件 故可排除A，C，D四个选项，故答案选B 二、填空题：本大题 共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题） 9. 在的展开式中，的系数为 . 【答案】6 【解析】，则当时，的系数为 10. 在等差数列中，若，则 . 【答案】10 【解析】由等差数列性质得，，解得，所以 11. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则b= . 【答案】1 【解析】，又，故，所以 由正弦定理得，，所以 12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。（用数字作答） 【答案】1560 13. 已知随机变量X服从二项分布，，，则 . 【答案】 【解析】，，解得 （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）， 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】 即直线的直角坐标方程为，点A的直角坐标为（2，-2） A到直线的距离为 15. (几何证明选讲选做题)如图1，已知是圆的直径，,是圆的切线，切点为，，过圆心作的平行线，分别交和于点和点，则= . 【答案】8 【解析】 图1 如图所示，连结O，C两点，则, , 则，所以,所以