2016年海南省高考数学试题及答案（理科）.docx

2016年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷） 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 2. 已知集合，，则 （A） （B） （C） （D） 3. 已知向量，且，则m= （A） （B） （C）6 （D）8 4. 圆的圆心到直线 的距离为1，则a= （A） （B） （C） （D）2 5. 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A）24 （B）18 （C）12 （D）9 6. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A）20π （B）24π （C）28π （D）32π 7. 若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A） （B） （C） （D） 8. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的a为2，2，5，则输出的 （A）7 （B）12 （C）17 （ D）34 9. 若，则= （A） （B） （C） （D） 10. 从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 （A） （B） （C） （D） 11. 已知，是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，与轴垂直，sin ,则E的离心率为 （A） （B） （C） （D）2 12. 已知函数满足，若函数与图像的交点 为，，⋯，，则（ ） （A）0 （B）m （C）2m （D）4m 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~24题为选考题。考生根据要求作答。 二、选择题：本题共4小题，每小题5分。 13. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ． 14. ，是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题： ①如果，，，那么． ②如果，，那么． ③如果，，那么． ④如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等． 其中正确的命题有  .(填写所有正确命题的编号） 15. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 16. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线， ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分） 为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，． （Ⅰ）求，，； （Ⅱ）求数列的前项和． 18. （本小题满分12分） 某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 （Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 19. （本小题满分12分） 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，，，点E，F分别在AD，CD上，，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置. （I）证明：平面ABCD； （II）求二面角的正弦值. 20. （本小题满分12分） 已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA. （I）当，时，求△AMN的面积； （II）当时，求k的取值范围. 21. （本小题满分12分） (I)讨论函数的单调性，并证明当时， (II)证明：当 时，函数 有最小值.设的最小值为，求函数的值域. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在正方形ABCD，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F. (I) 证明：B，C，G，F四点共圆； (II)若，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积. 23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xOy中，圆C的方程为． （I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； （II）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A、B两点，，求l的斜率． 24. （本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数，M为不等式的解集. （I）求M； （II）证明：当a，时，． 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案及解析 1. 【解析】A ∴，，∴，故选A． 2. 【解析】C ， ∴，∴， 故选C． 3. 【解析】D ， ∵，∴ 解得， 故选D． 4. 【解析】A 圆化为标准方程为：， 故圆心为，，解得， 故选A． 5. 【解析】B 有种走法，有种走法，由乘法原理知，共种走法 故选B． 6. 【解析】C 几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为． 由图得，，由勾股定理得：， ， 故选C． 7. 【解析】B 平移后图像表达式为， 令，得对称轴方程：， 故选B． 8. 【解析】C 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 故选C． 9. 【解析】D ∵，， 故选D． 10. 【解析】C 由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中 由几何概型概率计算公式知，∴，故选C． 11. 【解析】A 离心率，由正弦定理得． 故选A． 12. 【解析】B 由得关于对称， 而也关于对称， ∴对于每一组对称点 ， ∴，故选B． 13. 【解析】 ∵，， ，， ， 由正弦定理得：解得． 14. 【解析】②③④ 15. 【解析】 由题意得：丙不拿（2，3）， 若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足， 若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足， 故甲（1，3）， 16. 【解析】 的切线为：（设切点横坐标为） 的切线为： ∴ 解得 ∴． 17. 【解析】⑴设的公差为，， ∴，∴，∴． ∴，，． ⑵记的前项和为，则 ． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴． 18. 【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件， ． ⑵设续保人保费比基本保费高出为事件， ． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量． 平均保费 ， ∴平均保费与基本保费比值为． 19. 【解析】⑴证明：∵， ∴， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴面． ⑵建立如图坐标系． ，，，， ，，， 设面法向量， 由得，取， ∴． 同理可得面的法向量， ∴， ∴． 20. 【解析】 ⑴当时，椭圆E的方程为，A点坐标为， 则直线AM的方程为． 联立并整理得， 解得或，则 因为，所以 因为，， 所以，整理得， 无实根，所以． 所以的面积为． ⑵直线AM的方程为， 联立并整理得， 解得或， 所以 所以 因为 所以，整理得，． 因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得 解得． 21. 【解析】⑴证明： ∵当时， ∴在上单调递增 ∴时， ∴ ⑵ 由(1)知，当时，的值域为，只有一解． 使得， 当时，单调减；当时，单调增 记，在时，，∴单调递增 ∴． 22. 【解析】（Ⅰ）证明：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． ∴B，C，G，F四点共圆． （Ⅱ）∵E为AD中点，， ∴， ∴在中，， 连接，， ∴． 23. 【解析】解：⑴整理圆的方程得， 由可知圆的极坐标方程为． ⑵记直线的斜率为，则直线的方程为， 由垂径定理及点到直线距离公式知：， 即，整理得，则． 24. 【解析】解：⑴当时，，若； 当时，恒成立； 当时，，若，． 综上可得，． ⑵当时，有， 即， 则， 则， 即， 证毕．