2014年北京高考理科数学试题及答案.doc

绝密★启封并使用完毕前 2014年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1) 已知集合，，若 (A) (B) (C) (D) (2) 下列函数中，在区间上为增函数的是 (A) (B) (C) (D) 否 开始 输出S 结束 是 输入m,n的值 (3) 曲线 ，（为参数）的对称中心 (A) 在直线上 (B) 在直线上 (C) 在直线上 (D) 在直线上 (4) 当,时，执行如图所示的程序框图，输出的值为 (A) 7 (B) 42 (C) 210 (D) 840 (5) 设是公比为q的等比数列，则“”是“”为递 增数列的 (A) 充分且不必要条件 (B) 必要且不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 (6) 若满足且的最小值为，则的值是 (A) (B) (C) (D) (7) 在空间坐标系中，已知，，，，若，，分别表示三棱锥在，，则坐标平面上的正投影图形的面积，则 (A) == (B) =且 (C) =且 (D) =且 (8) 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A同学每科成绩不低于B同学，且至少有一颗成绩比B高，则称 “A同学比B同学成绩好，”现在若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。问满足条件的多少学生 (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D ) 5 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 (9) 复数_____ ． (10) 已知向量、满足，、且，则_____ ． (11) 在设曲线C经过点，且具有相同渐近线，则C的方程是 ． (12) 若等差数列满足，，则当______时，的前 n项和最大． (13) 把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻 ，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_____ 种． (14) 设函数 （是常数，），若在区间 上具有单调性，且，则的最小正周期为 ． 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。 (15)（本小题13分） 如图，在中，，，点D在BC边上，且CD=2， （Ⅰ）求． （Ⅱ）求，的长． (16)（本小题13分） 李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛相互独立） 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场1 22 12 客场1 18 8 主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4 23 8 客场4 18 15 主场5 24 20 客场5 25 12 （Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率； （Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，另一场不超过0.6的概率； （Ⅲ）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比和的大小。 (17)（本小题14分） 如图，正方形的边长为2， B，C分别为和的中点，在五棱锥中，为的中点，平面与棱，分别相较于点、． （Ⅰ）求证：； E D C M F B A P H G （Ⅱ）若平面，且A为垂足，求直线BC与平面ABF所成的角，并求线段P的长 (18)（本小题13分） 已知函数， （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若在上恒成立，求的最大值与的最小值． (19)（本小题14分） 已知椭圆：． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆G上，点B在直线上，且，求直线AB与圆的位置关系，并证明你的结论． (20)（本小题13分） 对于数对序列，，…，，记,， 其中 表示和两个数中最大的数． （Ⅰ）对于数对序列，，求，； （Ⅱ）记m为四个数、、、的最小值，对于两个数对，组成的数对序列，和，，试分别对和时的情况比较和的大小； （Ⅲ）在由5个数对，，，，组成的有序数对序列中，写出一个数对序列P使最小，并写出的值（只需写出结论）。 绝密★考试结束前 2014年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）1 （10） （11） （12）8 （13）36 （14） 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解： （I）在中，因为，所以。 所以 （Ⅱ）在中，由正弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 所以 （16）（共13分） 解： （I） 根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4. 所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5. （Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”， 事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”， 事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。 则C=，A,B独立。 根据投篮统计数据，. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为. （Ⅲ）. （17）（共14分） 解： （I） 在正方形中，因为B是AM的中点，所以∥。 又因为平面PDE， 所以∥平面PDE， 因为平面ABF，且平面平面， 所以∥。 （Ⅱ）因为底面ABCDE,所以，. 如图建立空间直角坐标系,则,,,,, . 设平面ABF的法向量为，则 即 令，则。所以，设直线BC与平面ABF所成角为a,则。 设点H的坐标为。 因为点H在棱PC上，所以可设， 即。所以。 因为是平面ABF的法向量，所以，即。 解得，所以点H的坐标为。 所以 （18）（共13分） 解： （I）由得 。 因为在区间上，所以在区间上单调递减。 从而。 （Ⅱ）当时，“”等价于“”“”等价于“”。 令，则， 当时，对任意恒成立。 当时，因为对任意，，所以在区间 上单调递减。从而对任意恒成立。 当时，存在唯一的使得。 与在区间上的情况如下： + 0 - ↗ ↘ 因为在区间上是增函数，所以。进一步，“对 任意恒成立”当且仅当，即， 综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时， 对任意恒成立。 所以，若对任意恒成立，则a最大值为，b的最小值为1. （19）（共14分） 解： （I） 由题意，椭圆C的标准方程为。 所以，从而。因此。 故椭圆C的离心率。 （Ⅱ）直线AB与圆相切。证明如下： 设点A,B的坐标分别为，，其中。 因为，所以，即，解得。 当时，，代入椭圆C的方程，得， 故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。 此时直线AB与圆相切。 当时，直线AB的方程为， 即， 圆心0到直线AB的距离 又，故 此时直线AB与圆相切。 （20）（共13分） 解： （I） =8 （Ⅱ） . 当m=a时，== 因为，且，所以≤ 当m=d时， 因为≤，且所以≤。 所以无论m=a还是m=d，≤都成立。 （Ⅲ）数对序列（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小， =10， =26， =42， =50， =52