2013年江苏高考数学试题及答案.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 参考公式： 样本数据的方差，其中。 棱锥的体积公式：，其中是锥体的底面积，为高。 棱柱的体积公式：，其中是柱体的底面积，为高。 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。 1、函数的最小正周期为 ▲ 。 2、设 (为虚数单位)，则复数的模为 ▲ 。 3、双曲线的两条渐近线的方程为 ▲ 。 4、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。 5、右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 ▲ 。 6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：  运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。 7、现有某类病毒记作为，其中正整数可以任意选取，则都取到奇数的概率为 ▲ 。 8、如图，在三棱柱A1B1C1 -ABC中，D、E、F分别为AB、AC、A A1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为，三棱柱A1B1C1 -ABC的体积为，则：= ▲ 。 9、抛物线在处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)。若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则的取值范围是 ▲ 。 10、设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且。若(、均为实数)，则+的值为 ▲ 。 11、已知是定义在R上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为 ▲ 。 12、在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的方程为，右焦点为F，右准线为，短轴的一个端点为B。设原点到直线BF的距离为，F到的距离为。若，则椭圆C的离心率为 ▲ 。 13、在平面直角坐标系xoy中，设定点A(a,a)，P是函数图象上的一动点。若点P、A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为= ▲ 。 14、在正项等比数列中， ，则满足的最大正整数n的值为 ▲ 。 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分） 已知向量。 （1）若，求证：； （2）设，若，求的值。 16、（本小题满分14分） 如图，在三棱锥S-ABC中，平面平面SBC,，AS=AB。过A作，垂足为F，点E、G分别为线段SA、SC的中点。 求证：（1）平面EFG//平面ABC； （2）。 17、（本小题满分14分） 如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(0,3)，直线，设圆C的半径为1，圆心在直线上。 （1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标的取值范围。 18、（本小题满分16分） 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C。 现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟。在甲出发2分钟后，乙从A乘坐缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C。假设缆车速度为130米/分钟，山路AC的长为1260米，经测量，。 （1）求索道AB的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 19、（本小题满分16分） 设是首项为、公差为的等差数列，为其前项和。记，其中c为实数。 （1）若c=0，且成等比数列，证明： （2）若为等差数列，证明：c=0。 20、（本小题满分16分） 设函数，其中为实数。 （1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围； （2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。 21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC。 求证：AC=2AD。 B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵，求矩阵． C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（为参数）。试求直线和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。 D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知≥＞0，求证：≥。 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） 如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，AB=AC=2，=4，点D是BC的中点。 （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值。 23．（本小题满分10分） 设数列：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，，… 即当时，。记。 对于，定义集合=﹛|为的整数倍，且1≤≤} (1)求中元素个数； (2)求集合中元素个数。 参考答案 1．【答案】π 【解析】T＝||＝||＝π． 2．【答案】5 【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝＝5． 3．【答案】 【解析】令：，得． 4．【答案】8 【解析】23＝8． 5．【答案】3 【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4． 6．【答案】2 【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：． 方差为：． 7． 【答案】 【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则都取到奇数的概率为． 8． 【答案】1：24 【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24． 9． 【答案】[—2，] 【解析】抛物线在处的切线易得为y＝2x—1，令z＝，y＝—x＋． 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(，0)时，zmax＝． y x O y＝2x—1 y＝—x 10． 【答案】 【解析】 所以，，，． 11． 【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞) 【解析】做出 ()的图像，如下图所示。由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。 x y y＝x y＝x2—4 x P(5,5) Q(﹣5, ﹣5) y x l B F O c b a 12． 【答案】 【解析】如图，l：x＝，＝－c＝，由等面积得：＝。若，则＝，整理得：，两边同除以：，得：，解之得：＝，所以，离心率为：． 13． 【答案】1或 【解析】 14． 【答案】12 【解析】设正项等比数列首项为a1，公比为q，则：，得：a1＝，q＝2，an＝26－n．记，．，则，化简得：，当时，．当n＝12时，，当n＝13时，，故nmax＝12． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． 解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)， |a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2， 所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0， 所以，． （2），①2＋②2得：cos(α－β)＝－． 所以，α－β＝，α＝＋β， 带入②得：sin(＋β)＋sinβ＝cosβ＋sinβ＝sin(＋β)＝1， 所以，＋β＝． 所以，α＝，β＝． 16． 证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB， 所以F为SB的中点． 又E，G分别为SA，SC的中点， 所以，EF∥AB，EG∥AC． 又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC， 所以，平面平面． （2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC， AF平面ASB，AF⊥SB． 所以，AF⊥平面SBC． 又BC平面SBC， 所以，AF⊥BC． 又AB⊥BC，AF∩AB＝A， 所以，BC⊥平面SAB． 又SA平面SAB， 所以，． 17． x y A l O 解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2)． 设切线为：， d＝，得：． 故所求切线为：． （2）设点M(x，y)，由，知：， 化简得：， 即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D． 又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切． 故：1≤|CD|≤3，其中． C B A D M N 解之得：0≤a≤． 18． 解：（1）如图作BD⊥CA于点D， 设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k， AB＝52k，由AC＝63k＝1260m， 知：AB＝52k＝1040m． （2）设乙出发x分钟后到达点M， 此时甲到达N点，如图所示． 则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)， 由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000， 其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短． （3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：＝(min)． 若甲等乙3分钟，则乙到C用时：＋3＝ (min)，在BC上用时： (min) ． 此时乙的速度最小，且为：500÷＝m/min． 若乙等甲3分钟，则乙到C用时：－3＝ (min)，在BC上用时： (min) ． 此时乙的速度最大，且为：500÷＝m/min． 故乙步行的速度应控制在[，]范围内． 19． 证：（1）若，则，，． 当成等比数列，， 即：，得：，又，故． 由此：，，． 故：（）． （2）， ． (※) 若是等差数列，则型． 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂， 故有：，即，而≠0， 故． 经检验，当时是等差数列． 20． 解：（1）≤0在上恒成立，则≥， ． 故：≥1． ， 若1≤≤e，则≥0在上恒成立， 此时，在上是单调增函数，无最小值，不合； 若＞e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，，满足． 故的取值范围为：＞e． （2）≥0在上恒成立，则≤ex， 故：≤． ． (ⅰ)若0＜≤，令＞0得增区间为(0，)； 令＜0得减区间为(，﹢∞)． 当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞； 当x＝时，f()＝﹣lna－1≥0，当且仅当＝时取等号． 故：当＝时，f(x)有1个零点；当0＜＜时，f(x)有2个零点． (ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点． (ⅲ)若a＜0，则在上恒成立， 即：在上是单调增函数， 当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞． 此时，f(x)有1个零点． 综上所述：当＝或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜＜时，f(x)有2个零点．