2012年浙江省高考数学【文】（含解析版）.doc

2012年浙江省高考数学试卷（文科） 　 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（2012•浙江）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（CUQ）=（　　） 　 A． {1，2，3，4，6} B． {1，2，3，4，5} C． {1，2，5} D． {1，2} 2．（2012•浙江）已知i是虚数单位，则=（　　） 　 A． 1﹣2i B． 2﹣i C． 2+i D． 1+2i 3．（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（　　） 　 A． 1cm3 B． 2cm3 C． 3cm3 D． 6cm3 4．（2012•浙江）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行的（　　） 　 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 　 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 5．（2012•浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面（　　） 　 A． 若l∥α，l∥β，则α∥β B． 若l∥α，l⊥β，则α⊥β C． 若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D． 若α⊥β，l∥α，则l⊥β 6．（2012•浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（　　） 　 A． B． C． D ． 7．（2012•浙江）设，是两个非零向量（　　） 　 A． 若|+|=||﹣||，则⊥ B． 若⊥，则|+|=||﹣|| 　 C． 若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ D． 若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣|| 8．（2012•浙江）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（　　） 　 A． 3 B． 2 C． D． 9．（2012•浙江）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（　　） 　 A． B． C． 5 D． 6 10．（2012•浙江）设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数（　　） 　 A． 若ea+2a=eb+3b，则a＞b B． 若ea+2a=eb+3b，则a＜b 　 C． 若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＞b D． 若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＜b 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．（2012•浙江）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为　_________　． 12．（2012•浙江）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是　_________　． 13．（2012•浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是　_________　． 14．（2012•浙江）设z=x+2y，其中实数x，y满足 则z的取值范围是　_________　． 15．（2012•浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=　_________　． 16．（2012•浙江）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则=　_________　． 17．（2012•浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=　_________　． 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（2012•浙江）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB． （1）求角B的大小； （2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值． 19．（2012•浙江）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*． （1）求an，bn； （2）求数列{an•bn}的前n项和Tn． 20．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点． （1）证明： （i）EF∥A1D1； （ii）BA1⊥平面B1C1EF； （2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值． 21．（2012•浙江）已知a∈R，函数f（x）=4x3﹣2ax+a． （1）求f（x）的单调区间； （2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2﹣a|＞0． 22．（2012•浙江）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分． （1）求p，t的值． （2）求△ABP面积的最大值． 2012年浙江省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（2012•浙江）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（CUQ）=（　　） 　 A． {1，2，3，4，6} B． {1，2，3，4，5} C． {1，2，5} D． {1，2} 考点： 交、并、补集的混合运算。 专题： 计算题。 分析： 由题意，可先由已知条件求出CUQ，然后由交集的定义求出P∩（CUQ）即可得到正确选项 解答： 解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}， ∴CUQ={1，2，6}，又P={1，2，3，4}， ∴P∩（CUQ）={1，2} 故选D 点评： 本题考查交、并、补的运算，解题的关键是熟练掌握交、并、补的运算规则，准确计算 2．（2012•浙江）已知i是虚数单位，则=（　　） 　 A． 1﹣2i B． 2﹣i C． 2+i D． 1+2i 考点： 复数代数形式的乘除运算。 专题： 计算题。 分析： 由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案 解答： 解： 故选D 点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握 3．（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（　　） 　 A． 1cm3 B． 2cm3 C． 3cm3 D． 6cm3 考点： 由三视图求面积、体积。 专题： 计算题。 分析： 由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1和2的直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3，这是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式得到结果． 解答： 解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1cm和2cm的直角三角形，面积是cm2， 三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3cm，这是三棱锥的高， ∴三棱锥的体积是cm3， 故选A． 点评： 本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是根据三视图看出几何体的形状和长度，注意三个视图之间的数据关系，本题是一个基础题． 4．（2012•浙江）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行的（　　） 　 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 　 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断。 专题： 计算题。 分析： 利用充分、必要条件进行推导，结合两直线直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是A1B2=A2B1≠A2C1可得答案． 解答： 解：（1）充分性： 当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行； （2）必要性： 当直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行时有： a•2=2•1，即：a=1． ∴“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行”充分必要条件． 故选C． 点评： 本题考查充分条件、必要条件、充分必要条件以及两直线平行的充要条件，属于基础题型，要做到熟练掌握． 5．（2012•浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面（　　） 　 A． 若l∥α，l∥β，则α∥β B． 若l∥α，l⊥β，则α⊥β C． 若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D． 若α⊥β，l∥α，则l⊥β 考点： 平面与平面之间的位置关系。 专题： 证明题。 分析： 利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题 解答： 解：A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A； B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确； C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C； D，若α⊥β，l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D 故选 B 点评： 本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直于平行的判定和性质，简单的逻辑推理能力，空间想象能力，属基础题 6．（2012•浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。 专题： 证明题；综合题。 分析： 首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案． 解答： 解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1， 再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度， 得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1）， ∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得， ∴曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0 由此可得，A选项符合题意． 故选A 点评： 本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换公式等知识点，属于基础题． 7．（2012•浙江）设，是两个非零向量（　　） 　 A． 若|+|=||﹣||，则⊥ B． 若⊥，则|+|=||﹣|| 　 C． 若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ D． 若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣|| 考点： 平面向量的综合题。 专题： 计算题。 分析： 通过向量特例，判断A的正误； 利用向量的垂直判断矩形的对角线长度相等，判断B的正误； 通过特例直接判断向量共线，判断正误； 通过反例直接判断结果不正确即可． 解答： 解：对于A，，，显然|+|=||﹣||，但是与不垂直，而是共线，所以A不正确； 对于B，若⊥，则|+|=|﹣|，矩形的对角线长度相等，所以|+|=||﹣||不正确； 对于C，若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ，例如，，显然=，所以正确． 对于D，若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||，例如，显然=， 但是|+|=||﹣||，不正确． 故选C． 点评： 本题考查向量的关系的综合应用，特例法的具体应用，考查计算能力． 8．（2012•浙江）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（　　） 　 A． 3 B． 2 C． D． 考点： 圆锥曲线的共同特征。 专题： 计算题。 分析： 根据M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值． 解答： 解：∵M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分 ∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍 ∵双曲线与椭圆有公共焦点， ∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2 故选B． 点评： 本题考查椭圆、双曲线的几何性质，解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍． 9．（2012•浙江）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（　　） 　 A． B． C． 5 D． 6 考点： 基本不等式在最值问题中的应用。 专题： 计算题。 分析： 将x+3y=5xy转化成=1，然后根据3x+4y=（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值． 解答： 解：∵正数x，y满足x+3y=5xy， ∴=1 ∴3x+4y=（）（3x+4y）=+++≥+2=5 当且仅当=时取等号 ∴3x+4y≥5 即3x+4y的最小值是5 故选C 点评： 本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题． 10．（2012•浙江）设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数（　　） 　 A． 若ea+2a=eb+3b，则a＞b B． 若ea+2a=eb+3b，则a＜b 　 C． 若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＞b D． 若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＜b 考点： 指数函数综合题。 专题： 计算题。 分析： 对于ea+2a=eb+3b，若a≤b成立，经分析可排除B；对于ea﹣2a=eb﹣3b，若a≥b成立，经分析可排除C，D，从而可得答案． 解答： 解：对于ea+2a=eb+3b，若a≤b成立，则必有ea≤eb，故必有2a≥3b，即有a≥b这与a≤b矛盾，故a≤b成立不可能成立，故B不对； 对于ea﹣2a=eb﹣3b，若a≥b成立，则必有ea≥eb，故必有2a≥3b，即有a≥b，故排除C，D． 故选A． 点评： 本题考查指数函数综合题，对于ea+2a=eb+3b与ea﹣2a=eb﹣3b，根据选项中的条件逆向分析而排除不适合的选项是关键，也是难点，属于难题． 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．（2012•浙江）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为　160　． 考点： 分层抽样方法。 专题： 计算题。 分析： 先根据男生和女生的人数做出年纪大总人数，用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概率，用男生人数乘以概率，得到结果． 解答： 解：∵有男生560人，女生420人， ∴年级共有560+420=980 ∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本， ∴每个个体被抽到的概率是=， ∴要从男生中抽取560×=160， 故答案为：160 点评： 本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题． 12．（2012•浙江）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是　　． 考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率。 专题： 计算题。 分析： 先求出随机（等可能）取两点的总数，然后求出满足该两点间的距离为的种数，最后根据古典概型的概率公式求之即可． 解答： 解：从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点共有=10种 其中两点间的距离为的必选中心，共有4种可能 故该两点间的距离为的概率是= 故答案为： 点评： 本题主要考查了古典概型的概率，同时考查了分析问题的能力，属于基础题． 13．（2012•浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是　　． 考点： 循环结构。 专题： 计算题。 分析： 通过循环框图，计算循环变量的值，当i=6时结束循环，输出结果即可． 解答： 解：循环前，T=1，i=2，不满足判断框的条件，第1次循环，T=，i=3， 不满足判断框的条件，第2次循环，T=，i=4， 不满足判断框的条件，第3次循环，T=，i=5， 不满足判断框的条件，第4次循环，T=，i=6， 满足判断框的条件，退出循环，输出结果． 故答案为：． 点评： 本题考查循环结构的应用，注意循环的变量的计算，考查计算能力． 14．（2012•浙江）设z=x+2y，其中实数x，y满足 则z的取值范围是　[0，]　． 考点： 简单线性规划。 专题： 计算题。 分析： 根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，结合z在目标函数中的几何意义，求出目标函数的最大值、及最小值，进一步线出目标函数z的范围． 解答： 解：约束条件 对应的平面区域如图示： 由图易得目标函数z=2y+x在O（0，0）处取得最小值，此时z=0 在B处取最大值，由可得B（），此时z= 故Z=x+2y的取值范围为：[0，] 故答案为：[0，] 点评： 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件，利用目标函数中z的几何意义是关键． 15．（2012•浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=　﹣16　． 考点： 平面向量数量积的运算。 专题： 计算题。 分析： 设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ，再由 =（ ﹣）•（ ﹣）以及两个向量的数量积的定义求出结果． 解答： 解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ．又=﹣，=﹣， ∴=（ ﹣）•（ ﹣）=•﹣•﹣•+， =﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos（π﹣θ）+9=﹣16， 故答案为﹣16． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题． 16．（2012•浙江）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则=　　． 考点： 函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值。 专题： 计算题。 分析： 利用函数的周期性先把转化成f（），再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数转化成f（），代入已知求解即可． 解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数， ∴=f（+2）=f（）， 又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数， ∴f（）=f（）， 又∵当x∈[0，1]时，f（x）=x+1， ∴有：f（）=+1=， 则=． 故答案为． 点评： 本题主要考查函数的性质中的周期性和奇偶性，属于基础题，应熟练掌握． 17．（2012•浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=　　． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式。 专题： 计算题。 分析： 先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可． 解答： 解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为 圆心到直线y=x的距离为=2 ∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣= 则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于 令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a） 切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0 由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为 即解得a=或﹣ 当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去 故答案为： 点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题． 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（2012•浙江）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB． （1）求角B的大小； （2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值． 考点： 解三角形。 专题： 计算题。 分析： （1）将已知的等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0，等式两边同时除以sinA，再利用同角三角函数间的基本关系求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数； （2）由正弦定理化简sinC=2sinA，得到关于a与c的方程，记作①，再由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的另一个方程，记作②，联立①②即可求出a与c的值． 解答： 解：（1）由bsinA=acosB及正弦定理=，得：sinBsinA=sinAcosB， ∵A为三角形的内角，∴sinA≠0， ∴sinB=cosB，即tanB=， 又B为三角形的内角，∴B=； （2）由sinC=2sinA及正弦定理=，得：c=2a①， ∵b=3，cosB=，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：9=a2+c2﹣ac②， 联立①②解得：a=，c=2． 点评： 此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键． 19．（2012•浙江）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*． （1）求an，bn； （2）求数列{an•bn}的前n项和Tn． 考点： 数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定。 专题： 计算题。 分析： （I）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=，当n≥2时，由an=sn﹣sn﹣1可求通项，进而可求bn （II）由（I）知，，利用错位相减可求数列的和 解答： 解（I）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3 当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1 而n=1，a1=4﹣1=3适合上式， 故an=4n﹣1， 又∵足an=4log2bn+3=4n﹣1 ∴ （II）由（I）知， 2Tn=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n ∴ =（4n﹣1）•2n =（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5 点评： 本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用． 20．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点． （1）证明： （i）EF∥A1D1； （ii）BA1⊥平面B1C1EF； （2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值． 考点： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定。 专题： 综合题。 分析： （1）（i）先由C1B1∥A1D1证明C1B1∥平面ADD1A1，再由线面平行的性质定理得出C1B1∥EF，证出EF∥A1D1． （ii）易通过证明B1C1⊥平面ABB1A1得出B1C1⊥BA1，再由tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，得出BA1⊥B1F．所以BA1⊥平面B1C1EF； （2）设BA1与B1F交点为H，连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在RT△BHC1中求解即可． 解答： （1）证明（i）∵C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，∴C1B1∥平面ADD1A1， 又C1B1⊂平面B1C1EF，平面B1C1EF∩平面平面ADD1A1=EF， ∴C1B1∥EF，∴EF∥A1D1； （ii）∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1， 又∵B1C1⊥B1A1， ∴B1C1⊥平面ABB1A1， ∴B1C1⊥BA1， 在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，故BA1⊥B1F． 所以BA1⊥平面B1C1EF； （2）解：设BA1与B1F交点为H， 连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角． 在矩形AA1B1B中，AB=，AA1=2，得BH=， 在RT△BHC1中，BC1=2，sin∠BC1H==， 所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是． 点评： 本题考查空间直线、平面位置故选的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证能力、转化、计算能力． 21．（2012•浙江）已知a∈R，函数f（x）=4x3﹣2ax+a． （1）求f（x）的单调区间； （2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2﹣a|＞0． 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性。 专题： 综合题。 分析： （1）求导函数，再分类讨论：a≤0时，f′（x）≥0恒成立；a＞0时，f′（x）=12x2﹣2a=12（x﹣）（x+），由此可确定f（x）的单调递增区间；单调递增区间； （2）由于0≤x≤1，故当a≤2时，f（x）+|2﹣a|=4x3﹣2ax+2≥4x3﹣4x+2；当a＞2时，f（x）+|2﹣a|=4x3+2a（1﹣x）﹣2≥4x3+4（1﹣x）﹣2=4x3﹣4x+2，构造函数g（x）=2x3﹣2x+1，0≤x≤1，确定g（x）min=g（）=1﹣＞0，即可证得结论． 解答： （1）解：求导函数可得f′（x）=12x2﹣2a a≤0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞） a＞0时，f′（x）=12x2﹣2a=12（x﹣）（x+） ∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；单调递增区间为（﹣，）； （2）证明：由于0≤x≤1，故 当a≤2时，f（x）+|2﹣a|=4x3﹣2ax+2≥4x3﹣4x+2 当a＞2时，f（x）+|2﹣a|=4x3+2a（1﹣x）﹣2≥4x3+4（1﹣x）﹣2=4x3﹣4x+2 设g（x）=2x3﹣2x+1，0≤x≤1，∴g′（x）=6（x﹣）（x+） x 0 （0，） g′（x） ﹣ + g（x） 极小值 ∴g（x）min=g（）=1﹣＞0 ∴当0≤x≤1时，2x3﹣2x+1＞0 ∴当0≤x≤1时，f（x）+|2﹣a|＞0． 点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题． 22．（2012•浙江）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分． （1）求p，t的值． （2）求△ABP面积的最大值． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质。 专题： 计算题；综合题；转化思想。 分析： （1）通过点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．列出方程，求出p，t的值即可． （2）设A（x1，y1）（x2，y2），线段AB的中点为Q（m，m），设直线AB的斜率为k，（k≠0），利用推出AB的方程y﹣m=．利用弦长公式求出|AB|，设点P到直线AB的距离为d，利用点到直线的距离公式求出d，设△ABP的面积为S，求出S==|1﹣2（m﹣m2）|．利用函数的导数求出△ABP面积的最大值． 解答： 解：（1）由题意可知得，． （2）设A（x1，y1）（x2，y2），线段AB的中点为Q（m，m）， 由题意可知，设直线AB的斜率为k，（k≠0）， 由得，（y1﹣y2）（y1+y2）=x1﹣x2， 故k•2m=1， 所以直线AB方程为y﹣m=． 即△=4m﹣4m2＞0，y1+y2=2m，y1y2=2m2﹣m． 从而|AB|==， 设点P到直线AB的距离为d，则 d=， 设△ABP的面积为S，则 S==|1﹣2（m﹣m2）|． 由△=＞0，得0＜m＜1， 令u=，，则S=u（1﹣2u2），， 则S′（u）=1﹣6u2，S′（u）=0，得u=， 所以S最大值=S（）=． 故△ABP面积的最大值为． 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的简单性质，函数与导数的应用，函数的最大值的求法，考查分析问题解决问题的能力．