2012年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）.doc

绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：= （i为虚数单位）. 2．若集合，，则= . 3．函数的最小正周期是 . 4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 5．一个高为2的圆柱，底面周长为2p，该诉表面积为 . 6．方程的解是 . 7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为 V1,V2,…,Vn,…，则 . 8．在的二项展开式中，常数项等于 . 9．已知是奇函数. 若且.，则 . O M x l a 10．满足约束条件的目标函数的最小值是 . 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 12．在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上 的点，且满足，则的取值范围是 . 13．已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0). 函数的图像与x轴围成的图形的面积为 . 14．已知.各项均为正数的数列满足，.若 ，则的值是 . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 （ ） （A）. （B）. （C）.（D）. 16．对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的 （ ） （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件. 17．在中，若，则的形状是 （ ） （A）钝角三角形. （B）直角三角形 （C）锐角三角形.（D）不能确定. 18．若，则在中，正数的个数是 （ ） （A）16. （B）72. （C）86. （D）100. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分） P A B C D 19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是 PC的中点.已知∠BAC=，AB=2，AC=2， PA=2.求： （1）三棱锥P-ABC的体积；（6分） （2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分） 20．已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分） x O y P A 21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） 22．在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分） （3）设斜率为的直线l交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OP⊥OQ；（6分） 23．对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分） （2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）. 求证：（k=1,2,…,m）；（6分） （3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求. 2012年上海高考数学（文科）试卷解答 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：= 1-2i （i为虚数单位）. 2．若集合，，则= . 3．函数的最小正周期是 p . 4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角 函数值表示）. 5．一个高为2的圆柱，底面周长为2p，该诉表面积为 6p . 6．方程的解是. 7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为 V1,V2,…,Vn,…，则 . 8．在的二项展开式中，常数项等于 -20 . 9．已知是奇函数. 若且.，则 3 . 10．满足约束条件的目标函数的最小值是 -2 . 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）. 12．在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上 的点，且满足，则的取值范围是 [1, 4] . 13．已知函数的图像是折5线段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0). 函数的图像与x轴围成的图形的面积为 . 14．已知.各项均为正数的数列满足，.若 ，则的值是. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 （ D ） （A）. （B）. （C）.（D）. 16．对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的 （ B ） （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件. 17．在中，若，则的形状是 （ A ） （A）钝角三角形. （B）直角三角形. （C）锐角三角形. （D）不能确定. 18．若，则在中，正数的 个数是 （ C ） （A）16. （B）72. （C）86. （D）100. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分） P A B C D 19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是 PC的中点.已知∠BAC=，AB=2，AC=2， PA=2.求： （1）三棱锥P-ABC的体积；（6分） （2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分） [解]（1）， 2分 P A B C D E 三棱锥P-ABC的体积为 . 6分 （2）取PB的中点E，连接DE、AE，则 ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线 BC与AD所成的角. 8分 在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2， ，所以∠ADE=. 因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是. 12分 20．已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数 的反函数.（8分） [解]（1）由，得. 由得. ……3分 因为，所以，. 由得. ……6分 （2）当xÎ[1,2]时，2-xÎ[0,1]，因此 . ……10分 由单调性可得. 因为，所以所求反函数是，. ……14分 21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 x O y P A 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） [解]（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程 中，得P的纵坐标yP=3. ……2分 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. ……4分 由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向 为北偏东arctan弧度. ……6分 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为. 由，整理得.……10分 因为，当且仅当=1时等号成立， 所以，即. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积；（5分） （3）设斜率为的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆相切， 求证：OP⊥OQ；（6分） [解]（1）双曲线，左焦点. 设，则， ……2分 由M是右支上一点，知，所以，得. 所以. ……5分 （2）左顶点，渐近线方程：. 过A与渐近线平行的直线方程为：，即. 解方程组，得. ……8分 所求平行四边形的面积为. ……10分 （3）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故， 即 (*). 由，得. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则. ，所以 . 由(*)知，所以OP⊥OQ. ……16分 23．对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即 为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分） （2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）. 求证：（k=1,2,…,m）；（6分） （3）设m=100，常数.若，是的控制数列， 求. [解]（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分 （2）因为，， 所以. ……6分 因为，， 所以，即. ……8分 因此，. ……10分 （3）对，；； ；. 比较大小，可得. ……12分 因为，所以，即； ，即. 又， 从而，，，. ……15分 因此 = = ===. ……18分 2012上海高考数学试题（文科）答案与解析 一、 填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：= （i为虚数单位）. 【答案】 1-2i 【解析】==1-2i 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。 2．若集合，，则= . 【答案】  【解析】由集合A可得：x>，由集合B可得：-1<经<1，所以，= 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。 3．函数的最小正周期是 . 【答案】  【解析】根据韪得： 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小. 4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为         （结果用反三角函数值表示）. 【答案】  【解析】设直线的倾斜角为，则. 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5.一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 . 【答案】 【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为，所以该圆柱的表面积为：. 【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题. 6.方程的解是 . 【答案】 【解析】根据方程，化简得，令， 则原方程可化为，解得 或，即.所以原方程的解为 . 【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中. 7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 . 【答案】 【解析】由正方体的棱长组成以为首项，为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，为公比的等比数列，因此， . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合. 8.在的二项式展开式中，常数项等于 . 【答案】 【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是 . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题. 9.已知是奇函数，若且，则 . 【答案】 【解析】因为函数为奇函数，所以有，即 . 【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数为奇函数，所以有这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中. 10.满足约束条件的目标函数的最小值是 . 【答案】 【解析】根据题意得到或或或 其可行域为平行四边形区域，（包括边界）目标函数可以化成，的最小值就是该直线在轴上截距的最小值，当该直线过点时，有最小值，此时 . 【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点时，有最小值，此时 ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中. 11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 【答案】 【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为 . 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题. 12.在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 【答案】 【解析】以向量AB所在直线为轴，以向量AD所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为，所以 设，根据题意，，所以 所以，所以， 即. 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中. 13.已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为 . 【答案】 【解析】根据题意，得到， 从而得到所以围成的面积为，所以围成的图形的面积为 . 【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14.已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 . 【答案】 【解析】据题，并且，得到，，，，得到，解得（负值舍去）.依次往前推得到 . 【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15.若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A． B. C. D. 【答案】 D 【解析】根据实系数方程的根的特点知也是该方程的另一个根，所以 ，即，，故答案选择D. 【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意. 16.对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】方程的曲线表示椭圆，常数常数的取值为所以，由得不到程的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出，因而必要.所以答案选择B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数的取值情况.属于中档题. 17.在△中，若，则△的形状是（ ） A．钝角三角形 B、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】 A 【解析】由正弦定理，得代入得到， 由余弦定理的推理得，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A. 【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 18.若（），则在中，正数的个数是（ ） A．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C 【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分） P A B C D 19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是 PC的中点.已知∠BAC=，AB=2，AC=2， PA=2.求： （1）三棱锥P-ABC的体积；（6分） （2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分） [解]（1）， 2分 P A B C D E 三棱锥P-ABC的体积为 . 6分 （2）取PB的中点E，连接DE、AE，则 ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线 BC与AD所成的角. 8分 在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2， ，所以∠ADE=. 因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是. 12分 【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题． 20．已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数 的反函数.（8分） [解]（1）由，得. 由得. ……3分 因为，所以，. 由得. ……6分 （2）当xÎ[1,2]时，2-xÎ[0,1]，因此 . ……10分 由单调性可得. 因为，所以所求反函数是，. ……14分 【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题． 21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 x O y P A 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） [解]（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程 中，得P的纵坐标yP=3. ……2分 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. ……4分 由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向 为北偏东arctan弧度. ……6分 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为. 由，整理得.……10分 因为，当且仅当=1时等号成立， 所以，即. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题． 22．在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积；（5分） （3）设斜率为的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆相切， 求证：OP⊥OQ；（6分） [解]（1）双曲线，左焦点. 设，则， ……2分 由M是右支上一点，知，所以，得. 所以. ……5分 （2）左顶点，渐近线方程：. 过A与渐近线平行的直线方程为：，即. 解方程组，得. ……8分 所求平行四边形的面积为. ……10分 （3）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故， 即 (*). 由，得. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则. ，所以 . 由(*)知，所以OP⊥OQ. ……16分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ． 23．对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即 为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分） （2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）. 求证：（k=1,2,…,m）；（6分） （3）设m=100，常数.若，是的控制数列， 求. [解]（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分 （2）因为，， 所以. ……6分 因为，， 所以，即. ……8分 因此，. ……10分 （3）对，；； ；. 比较大小，可得. ……12分 因为，所以，即； ，即. 又， 从而，，，. ……15分 因此 = = ===. ……18分 【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．