2010年湖南高考理科数学试题及答案.doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．[来源:Z#xx#k.Com] 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．下列命题中的假命题是 A．， B．，[来源:Z&xx&k.Com] C．， D．， 3．极坐标方程和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是 A．圆、直线 B．直线、圆[来源:学+科+网]C．圆、圆 D．直线、直线 4．在中，，，则等于 A． B． C．8 D．16 5．等于 A． B． C． D． 6．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若，，则[来源:学_ A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a与b的大小关系不能确定 7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.15 8．用表示两数中的最小值.若函数的图像关于直线对称，则的值为 A． B．2 C． D．1 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 9．已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间．若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g． 10．如图1所示，过外一点P作一条直线与交于A,B两点．已知PA=2，点P到的切线长PT=4，则弦AB的长为 ． 11．在区间上随机取一个数，则的概率为 ． 12．图2是求的值的程序框图，则正整数 ． 13．图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则 ． 14．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ． 15．若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则 ， ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）求函数的零点的集合. 17．（本小题满分12分） 图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.[来源:学.科.网] （Ⅰ）求直方图中的值. （Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数的分布列和数学期望. 18．（本小题满分12分） 如图5所示，在正方体中，E是棱的中点. （Ⅰ）求直线BE的平面所成的角的正弦值； （Ⅱ）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论. 19．（本小题满分13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域． （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程； （Ⅱ）如图6所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间． 20.（本小题满分13分） 已知函数对任意的，恒有. （Ⅰ）证明：当时，； （Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值. 21．（本小题满分13分） 数列中，是函数的极小值点. （Ⅰ）当时，求通项； （Ⅱ）是否存在，使数列是等比数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 2010年湖南省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）（2010•湖南）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（　　） A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4} 【考点】交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】利用直接法求解，分别求出两个集合的交集与并集，观察两个集合的包含关系即可． 【解答】解：M∩N ={1，2，3}∩{2，3，4} ={2，3} 故选C． 【点评】本题主要考查了集合的交集与子集的运算，属于容易题． 　 2．（5分）（2010•湖南）下列命题中是假命题的是（　　） A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N﹡，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=2 【考点】四种命题的真假关系．菁优网版权所有 【专题】简易逻辑． 【分析】本题考查全称命题和特称命题真假的判断，逐一判断即可． 【解答】解：B中，x=1时不成立，故选B． 答案：B． 【点评】本题考查逻辑语言与指数函数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属容易题． 　 3．（5分）（2010•湖南）极坐标p=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（　　） A．直线、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．圆、直线 【考点】参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】将极坐标方程和参数方程化为一般方程，然后进行选择． 【解答】解：∵极坐标p=cosθ，x=pcosθ，y=psinθ，消去θ和p， ∴x2+y2=x， x2+y2=x为圆的方程； 参数方程（t为参数）消去t得，x+y﹣1=0，为直线的方程， 故选D． 【点评】此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题． 　 4．（5分）（2010•湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则等于（　　） A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16 【考点】平面向量数量积的运算；向量的加法及其几何意义．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】本题是一个求向量的数量积的问题，解题的主要依据是直角三角形中的垂直关系和一条边的长度，解题过程中有一个技巧性很强的地方，就是把变化为两个向量的和，再进行数量积的运算． 【解答】解：∵∠C=90°， ∴=0， ∴=（） ==42=16 故选D． 【点评】启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质． 　 5．（5分）（2010•湖南）dx等于（　　） A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2 【考点】定积分．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可． 【解答】解：∵（lnx）′= ∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2 故选D 【点评】本题考查定积分的基本运算，关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题． 　 6．（5分）（2010•湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（　　） A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a与b的大小关系不能确定 【考点】余弦定理；不等式的基本性质．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题． 【分析】由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，进而求得a﹣b=，根据＞0判断出a＞b． 【解答】解：∵∠C=120°，c=a， ∴由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC， ∴a2﹣b2=ab，a﹣b=， ∵a＞0，b＞0， ∴a﹣b=， ∴a＞b 故选A 【点评】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题． 　 7．（5分）（2010•湖南）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（　　） A．10 B．11 C．12 D．15 【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题． 【分析】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：一是与信息0110有两个对应位置上的数字相同，二是与信息0110有一个对应位置上的数字相同，三是与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的，分别写出结果相加． 【解答】解：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C42=6（个） 第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C41=4个， 第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C40=1， 由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个， 故选B． 【点评】本题是一个分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果． 　 8．（5分）（2010•湖南）用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=对称，则t的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【考点】函数的图象与图象变化．菁优网版权所有 【专题】作图题；压轴题；新定义；数形结合法． 【分析】由题设，函数是一个非常规的函数，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，及直线x=，观察图象得出结论 【解答】解：如图，在同一个坐标系中做出两个函数y=|x|与y=|x+t|的图象， 函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象为两个图象中较低的一个， 分析可得其图象关于直线x=﹣对称， 要使函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=对称，则t的值为t=1 故应选D． 【点评】本题的考点是函数的图象与图象的变化，通过新定义考查学生的创新能力，考查函数的图象，考查考生数形结合的能力，属中档题． 　 二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分） 9．（5分）（2010•湖南）已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是　171.8或148.2　g． 【考点】黄金分割法—0.618法．菁优网版权所有 【专题】阅读型． 【分析】由题知试验范围为[100，200]，区间长度为100，故可利用0.618法：110+（210﹣110）×0.618或210﹣（210﹣110）×0.618选取试点进行计算． 【解答】解：根据0.618法，第一次试点加入量为 110+（210﹣110）×0.618=171.8 或210﹣（210﹣110）×0.618=148.2 故答案为：171.8或148.2． 【点评】本题考查优先法的0.618法，属容易题，解答的关键是对黄金分割法﹣0.618法的了解． 　 10．（5分）（2010•湖南）如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点，已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB的长为　6　． 【考点】与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】首先根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得一个线段的等式，再根据线段的关系可求得AB的长度即可． 【解答】解：根据切割线定理 PT2=PA•PB，PB===8， ∴AB=PB﹣PA=8﹣2=6． 故填：6． 【点评】本题考查与圆有关的比例线段、平面几何的切割线定理，属容易题． 　 11．（5分）（2010•湖南）在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为　　． 【考点】几何概型．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣1，2]的长度求比值即得． 【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度． ∵|x|≤1得﹣1≤x≤1， ∴|x|≤1的概率为： P（|x|≤1）=． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 　 12．（5分）（2010•湖南）如图是求12+22+32+…+1002的值的程序框图，则正整数n=　100　． ． 【考点】设计程序框图解决实际问题．菁优网版权所有 【专题】常规题型． 【分析】由已知可知：该程序的作用是求12+22+32+…+1002的值，共需要循环100次，由于循环变量的初值已知，故不难确定循环变量的终值． 【解答】解：由已知可知：该程序的作用是求12+22+32+…+1002的值， 共需要循环100次， 最后一次执行循环体的作用是累加1002 故循环变量的终值应为100 故答案为：100 【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误． 　 13．（5分）（2010•湖南）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h=　4　cm． 【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】由三视图可知，几何体的底面为直角三角形，且一边垂直于底面，再根据公式求解即可． 【解答】解：根据三视图可知，几何体的体积为：V= 又因为V=20，所以h=4 故答案为：4 【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及公式的利用，是基础题． 　 14．（5分）（2010•湖南）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为，则P=　2　． 【考点】抛物线的标准方程；直线的一般式方程；抛物线的简单性质．菁优网版权所有 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】先根据抛物线方程得出其焦点坐标和过焦点斜率为1的直线方程，设出A，B两点的坐标，把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而用A，B坐标表示出梯形的面积建立等式求得p． 【解答】解：抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+， 设A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1），由题意可知y1＞0，y2＞0 由，消去y得x2﹣2px﹣p2=0， 由韦达定理得，x1+x2=2p，x1x2=﹣p2 所以梯形ABCD的面积为：S=（y1+y2）（x2﹣x1）=（x1+x2+p）（x2﹣x1）=•3p=3p2 所以3p2=12，又p＞0，所以p=2 故答案为2． 【点评】本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查考生的运算能力，属中档题 　 15．（5分）（2010•湖南）若数列{an}满足：对任意的n∈N﹡，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为（an）+，则得到一个新数列{（an）+}．例如，若数列{an}是1，2，3…，n，…，则数列{（an）+}是0，1，2，…，n﹣1…已知对任意的n∈N+，an=n2，则（a5）+=　2　，（（an）+）+=　n2　． 【考点】数列的应用．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题；新定义． 【分析】根据题意，若am＜5，而an=n2，知m=1，2，∴（a5）+=2，由题设条件可知（（a1）+）+=1，（（a2）+）+=4，（（a3）+）+=9，（（a4）+）+=16，于是猜想：（（an）+）+=n2． 【解答】解：∵am＜5，而an=n2，∴m=1，2，∴（a5）+=2． ∵（a1）+=0，（a2）+=1，（a3）+=1，（a4）+=1， （a5）+=2，（a6）+=2，（a7）+=2，（a8）+=2，（a9）+=2， （a10）+=3，（a11）+=3，（a12）+=3，（a13）+=3，（a14）+=3，（a15）+=3，（a16）+=3， ∴（（a1）+）+=1，（（a2）+）+=4，（（a3）+）+=9，（（a4）+）+=16， 猜想：（（an）+）+=n2． 答案：2，n2． 【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题．仔细解答． 　 三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（12分）（2010•湖南）已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）的最大值； （Ⅱ）求函数f（x）的零点的集合． 【考点】三角函数的最值；集合的含义；函数的零点．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】（Ⅰ）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案． （Ⅱ）令f（x）=0可得到2sin xcos x=2sin2x，进而可得到sin x=0或tan x=，即可求出对应的x的取值集合，得到答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+）﹣1 故函数f（x）的最大值等于2﹣1=1 （Ⅱ）由f（x）=0得2sin xcos x=2sin2x，于是sin x=0，或cos x=sin x即tan x= 由sin x=0可知x=kπ； 由tan x=可知x=kπ+． 故函数f（x）的零点的集合为{x|x=kπ或x=k，k∈Z} 【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和与差的正弦公式的应用和正弦函数的基本性质．三角函数是高考的重点，每年必考，要强化复习． 　 17．（12分）（2010•湖南）如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图． （Ⅰ）求直方图中x的值． （Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望． 【考点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【分析】本题考查的知识点是频率分布直方图、离散型随机变量及其分布列和数学期望． （1）根据频率分布直方图中，各组的频率之和为1，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案． （2）由频率分布直方图中月均用水量各组的频率，我们易得X～B（3，0.1）．然后将数据代入后，可分别算出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，代入即可得到随机变量X的分布列，然后代入数学期望公式，可进而求出数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1，解得x=0.12． （Ⅱ）由题意知，X～B（3，0.1）． 因此P（X=0）=C30×0.93=0.729， P（X=1）=C31×0.1×0.92=0.243， P（X=2）=C32×0.12×0.9=0.027， P（X=3）=C33×0.13=0.001． 故随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 X的数学期望为EX=3×0.1=0.3． 【点评】根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容﹣﹣频率分布直方图是新高考的重要考点，同时（2）中概随机变量的分布列、数学期望的计算也是高考的热点．对于“频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图，对于概率要多练习使用列举法表示满足条件的基本事件个数．对于数学期望的计算则要熟练掌握运算方法和步骤． 　 18．（12分）（2010•湖南）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． （Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值； （Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论． 【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】计算题；证明题． 【分析】（Ⅰ）先取AA1的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB1A1，则EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，则∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，于是在Rt△BEM中，求出此角的正弦值即可． （Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，根据中位线定理可知EG∥A1B，从而说明A1，B，G，E共面，则BG⊂面A1BE，根据FG∥C1C∥B1G，且FG=C1C=B1B，从而得到四边形B1BGF为平行四边形，则B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，根据线面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE． 【解答】解：（I）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD． 又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影， ∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角． 设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=， 于是在Rt△BEM中， 即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为． （Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE， 事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG， 因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形， 因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG⊂平面A1BE 因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE． 【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力． 　 19．（13分）（2010•湖南）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图）．在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4km的区域． （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程； （Ⅱ）如图所示，设线段P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间． 【考点】轨迹方程；两条平行直线间的距离．菁优网版权所有 【专题】综合题． 【分析】（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），当x≥2时，．当x＜2时，．由此能得到考查区域边界曲线的方程； （Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为． 设直线l平行于直线l1，其方程为，代入椭圆方程，消去y，得，然后由根的判别式和点到直线的距离公式结合题设条件进行求解． 【解答】解：（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为（x，y）， 当x≥2时，由题意知． 当x＜2时，由知，点P在以A，B为焦点，长轴长为的椭圆上．此时短半轴长．因而其方程为． 故考察区域边界曲线（如图）的方程为和． （Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，过点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为． 设直线l平行于直线l1，其方程为，代入椭圆方程，消去y，得 ， 由△100×3m2﹣4×16×5（m2﹣4）=0， 解得m=8或m=﹣8． 从图中可以看出，当m=8时，直线l与C2的公共点到直线l的距离最近，此时直线l的方程为，l与l1之间的距离为． 又直线l2到C1和C2的最短距离，而d'＞3，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3． 设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设及等比数列求和公式， 得，所以n≥4． 故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年． 【点评】本题考查点的轨迹方程，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用和数形结合的合理运用． 　 20．（13分）（2010•湖南）已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）． （Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+c）2； （Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）﹣f（b）≤M（c2﹣b2）恒成立，求M的最小值． 【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（Ⅰ）f′（x）≤f（x）转化为x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立，找到b和c之间的关系，再对f（x）和（x+c）2作差整理成关于b和c的表达式即可． （Ⅱ）对c≥|b|分c＞|b|和c=|b|两种情况分别求出对应的M的取值范围，再综合求M的最小值即可． 【解答】解：（Ⅰ）易知f′（x）=2x+b．由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c， 即x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立，所以（b﹣2）2﹣4（c﹣b）≤0，从而． 于是c≥1，且，因此2c﹣b=c+（c﹣b）＞0． 故当x≥0时，有（x+c）2﹣f（x）=（2c﹣b）x+c（c﹣1）≥0． 即当x≥0时，f（x）≤（x+c）2． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，c≥|b| 当c＞|b|时，有M≥==， 令t=则﹣1＜t＜1，=2﹣， 而函数g（t）=2﹣（﹣1＜t＜1）的值域（﹣∞，） 因此，当c＞|b|时M的取值集合为[，+∞）． 当c=|b|时，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2． 此时f（c）﹣f（b）=﹣8或0，c2﹣b2=0， 从而恒成立． 综上所述，M的最小值为 【点评】本题是对二次函数的恒成立问题和导函数的求法的综合考查．二次函数的恒成立问题一般分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0． 　 21．（13分）（2010•湖南）数列{an}（n∈N*）中，a1=a，an+1是函数的极小值点． （Ⅰ）当a=0时，求通项an； （Ⅱ）是否存在a，使数列{an}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【考点】数列与函数的综合．菁优网版权所有 【专题】综合题；压轴题． 【分析】（I）当a=0时，a1=0，则3a1＜12．由f'n（x）=x2﹣（3an+n2）x+3n2an=（x﹣3an）（x﹣n2）=0，得x1=3an，x2=n2．由函数的单调性知fn（x）在x=n2取得极小值．所以a2=12=1．因为3a2=3＜22，则，a3=22=4，因为3a3=12＞33，则a4=3a3=3×4，又因为3a4=36＞42，则a5=3a4=32×4，由此猜测：当n≥3时，an=4×3n﹣3．然后用数学归纳法证明：当n≥3时，3an＞n2． （Ⅱ）存在a，使数列{an}是等比数列．事实上，若对任意的n，都有3an＞n2，则an+1=3an．要使3an＞n2，只需对一切n∈N*都成立．当x≥2时，y'＜0，从而函数在这[2，+∞）上单调递减，故当n≥2时，数列{bn}单调递减，即数列{bn}中最大项为．于是当a＞时，必有．由此能导出存在a，使数列{an}是等比数列，且a的取值范围为． 【解答】解：（I）当a=0时，a1=0，则3a1＜12． 由题设知f'n（x）=x2﹣（3an+n2）x+3n2an=（x﹣3an）（x﹣n2）． 令f'n（x）=0，得x1=3an，x2=n2． 若3an＜n2，则 当x＜3an时，f'n（x）＞0，fn（x）单调递增； 当3an＜x＜n2时，f'n（x）＜0，fn（x）单调递减； 当x＞n2时，f'n（x）＞0，fn（x）单调递增． 故fn（x）在x=n2取得极小值． 所以a2=12=1 因为3a2=3＜22，则，a3=22=4 因为3a3=12＞32，则a4=3a3=3×4， 又因为3a4=36＞42，则a5=3a4=32×4， 由此猜测：当n≥3时，an=4×3n﹣3． 下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3an＞n2． 事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立． 假设当n=k（k≥3）时，3ak＞k2成立，则由（2）知，ak+1=3ak＞k2， 从而3ak+1﹣（k+1）2＞3k2﹣（k+1）2=2k（k﹣2）+2k﹣1＞0， 所以3ak+1＞（k+1）2． 故当n≥3时，3an＞n2成立． 于是，当n≥3时，an+1=3an，而a3=4，因此an=4×3n﹣3． 综上所述，当a=0时，a1=0，a2=1，an=4×3n﹣3（n≥3）． （Ⅱ）存在a，使数列{an}是等比数列． 事实上，若对任意的n，都有3an＞n2，则an+1=3an．即数列{an}是首项为a，公比为3的等比数列，且an=a•3n﹣3． 而要使3an＞n2，即a•3n＞n2对一切n∈N*都成立，只需对一切n∈N*都成立． 记，则，． 令，则． 因此，当x≥2时，y'＜0，从而函数在这[2，+∞）上单调递减， 故当n≥2时，数列{bn}单调递减，即数列{bn}中最大项为． 于是当a＞时，必有．这说明，当时，数列an是等比数列． 当a=时，可得，而3a2=4=22，由（3）知，f2（x）无极值，不合题意， 当时，可得a1=a，a2=3a，a3=4，a4=12，…，数列{an}不是等比数列． 当时，3a=1=12，由（3）知，f1（x）无极值，不合题意． 当时，可得a1=a，a2=1，a3=4，a4=12，数列{an}不是等比数列． 综上所述，存在a，使数列{an}是等比数列，且a的取值范围为． 【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．