2009年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。 4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。 参考公式： 柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是锥体的高。 锥体的体积公式V=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)P(B). 事件A在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中事件A 恰好发生次的概率:. 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）集合,,若,则的值为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 （2）复数等于 （A） B） C） D） （3）将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 （A） （B） （C） （D） 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 （4） 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （A） （B） （C） （D） （5） 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 x y 1 1 D O x y O 1 1 C x y O 1 1 B 1 x y 1 O A （6） 函数的图像大致为 A B C P 第7题图 (7）设P是△ABC所在平面内的一点，，则 (A） (B） (C） (D） 96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 频率/组距 第8题图 (８）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 (A）90 (B）75 (C） 60 (D）45 (9） 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 (A） (B） 5 (C） (D） (10） 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为 (A）-1 (B） 0 (C）1 (D） 2 （11）在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ). （A） （B） （C） （D） x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 （12） 设x，y满足约束条件 ， 若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为12，则的最小值为( ). （A） （B） （C） （D） 4 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 （13）不等式的解集为 . 开始 S=0,T=0,n=0 T>S S=S+5 n=n+2 T=T+n 输出T 结束 是 否 （14）若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . （15）执行右边的程序框图，输入的T= . （16）已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则 三、解答题：本大题共6分，共74分。 （17）(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sinx. (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，f()=－，且C为锐角，求sinA. （18）（本小题满分12分） E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。 （1） 证明：直线EE//平面FCC； （2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 (19)(本小题满分12分) 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 （1） 求q的值； （2） 求随机变量的数学期望E; （3） 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。 （20）（本小题满分12分） 等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立 （21）（本小题满分12分） 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （I）将y表示成x的函数； （Ⅱ）讨论（I）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。 （22）（本小题满分14分） 设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点， （I）求椭圆E的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 2009年高考数学山东理科解析 一、选择题 1． 【答案】D 【解题关键点】因为.所以,选D. 2． 【答案】C 【解题关键点】因为，故选C. 3． 【答案】B 【解题关键点】由题意知：平移后的函数解析式为， ，选B. 4． 【答案】C 【解题关键点】由题意可知该几何体为一正四棱锥与一圆柱拼接而成的，所以改几何体的体积为这个圆柱的体积与这个正四棱锥的体积之和，其中圆柱的底面园直径为2，高为2，所以圆柱的体积为，正四棱锥的测棱长为2，底面正方形的对角线为2，所以此正四棱锥的体积,为故选C. 5． 【答案】B 【解题关键点】由为平面内的一条直线且得出；但是，反过来，若且 为平面内的一条直线，则不一定有，还可能有与平面相交但不垂直、、.故选B. 6． 【答案】A 【解题关键点】排除法：因为当时，函数无意义，故排除,故选A. 7． 【答案】B 【解题关键点】因为，所以点为的中点，.即有，故选B. 8． 【答案】A 【解题关键点】因为样品中产品净重小于100克的个数为36，所以样本容量为 ，所以样本中产品净重大于或等于98克并且小于104克的个数为，故选A. 9． 【答案】D 【解题关键点】由题意知：双曲线的一条渐近线为，由方程组消去y，得有唯一解，所以，所以 ，故选D. 10． 【答案】C 【解题关键点】由已知得 所以函数的值以6为周期重复性出现，所以，故选C 11． 【答案】A 【解题关键点】当时，在区间上，只有或，即，根据几何概型的计算方法，这个概率值是. 12． 【答案】A 【解题关键点】不等式表示的平面区域如图所示的阴影部分，由题意知： 当直线过直线与直线 的交点时，目标函数 取最大值12，即，即， 而，当且仅 当时取等号，故选A . 二、填空题 13． 【答案】 【解题关键点】原不等式等价于，两边平方并整理得：，解得. 14． 【答案】 【解题关键点】函数= (且)有两个零点，方程有两个不相等的实数根，即两个函数与的图像有两个不同的交点，当时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当时，两个函数的图像有两个交点，满足题意. 15． 【答案】30 【解题关键点】由框图知，S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12; S=20.n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30. 16． 【答案】 【解题关键点】因为定义在上的奇函数，满足，所以，所以，由为奇函数，所以函数图像关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间上是增函数，所以在区间上也是增函数，如下图所示，那么方程在区间上有四个不同的根，不妨设，由对称性知， ，，所以. 三、解答题 17． 【答案】（I） ， 当时，函数的最大值为，最小正周期为. （II）==－，得到，又为锐角，故， 故. 18． 【答案】解法一：（I）在在直四棱柱 中，取的中点，连结，由于 ，所以平面，因此平面即为平面，连结，，由于， 所以四边形为平行四边形，因此，又因为、分别是棱、的中点，所以，所以，又因为平面，平面，所以直线平面. （II）因为是棱的中点，所以为正三角形，取的中点，则，又因为直四棱柱中，平面，所以，所以，过在平面内作，垂足为，连接，则为二面角的一个平面角，在为正三角形中，，在中，～，∵ ∴，在中，，，所以二面角的余弦值为. 解法二:（I）因为是棱的中点 所以，为正三角形，因为为 等腰梯形,所以,取的中点, 连接,则,所以， 以为轴, 为轴, 为轴建立空间直 角坐标系如图所示, 则（0,0,0），，，， ，，，所以 ,,设平面的法向量为则所以取,则,所以,所以直线平面. （II）,设平面的法向量为,则所以，取，则 ， ,， 所以,由图可知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为. 19． 【答案】（I）设该同学在处投中为事件,在处投中为事件,则事件,相互独立,且,, ,. 根据分布列知: =0时=0.03,所以,. （II）当=2时, = ，( )， ( ) 当=3时, =； 当=4时, =； 当=5时, = 所以随机变量的分布列为 随机变量的数学期望 . （III）该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率为 ； 该同学选择（I）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72. 因此该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在处投以后都在处投得分超过3分的概率. 20． 【答案】（I）由题意知：.当时， ，由于且，所以当时，{}是以为公比的等比数列，又，，即，解得. （II）当时，， 又当时，，适合上式，， ， 下面有数学归纳法来证明不等式： 证明：（1）当时，左边右边，不等式成立. （2）假设当时，不等式成立，即 ，当时，左边，所以当时,不等式也成立. 由（1）、（2）可得当时，不等式恒成立，所以对任意的，不等式成立. 21． 【答案】（I）如右图,由题意知 ,, 当垃圾处理厂建在弧的中点时，垃圾处理厂到、的距离都相等，且为，所以有， 解得， （II） , 令，得，解得，即， 又因为，所以函数在上是减函数，在上是增函数， 当时，y取得最小值， 所以在弧上存在一点，且此点到城市的距离为，使建在此处的垃圾 处理厂对城市、的总影响度最小. 【解题关键点】 【结束】 22． 【答案】（I）椭圆: 过（2，）， (,1)两点， ，解得，所以椭圆的方程为. （II）假设存在该圆，满足条件，则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点， 只该圆在椭圆内部，设该圆的方程为，则当直线的斜率存在时，设该圆的切线方程为，解方程组得 ,即, 则,即 ,要使,需使,即,所以, 所以又,所以,所以,即或，因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足, ， 当时,， 当时， 因为所以,故 当AB的斜率不存在时, . 综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且的取值范围是.