2009年广东高考（理科）数学试题及答案.doc

绝密★启用前 试卷类型：B 2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． １．巳知全集，集合和的关系的韦恩（Ｖenn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个 ２．设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位， Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２ ３．若函数是函数的反函数，其图像经过点，则 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3。 ４．巳知等比数列满足，且，则当时， Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4 5．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④ 6．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为２和４，则的大小为 Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ． Ｄ． F1 F2 F3 O A B C D 7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种 8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 A．在时刻，甲车在乙车前面 B．时刻后，甲车在乙车后面 C．在时刻，两车的位置相同 D．时刻后，乙车在甲车前面 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（９～１２题） ９．随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图3所示的程序框图输出的 ，表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”） １０．若平面向量满足，平行于轴，，则 ． 11．巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 _________________ ． 12．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则 ， ． （二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线与直线（为参数）垂直，则 ． 14．（不等式选讲选做题）不等式的实数解为 ． 15．(几何证明选讲选做题）如图4，点是圆上的点， 且，则圆的面积等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16．(本小题满分12分） 已知向量互相垂直，其中． （1）求的值； （2）若，求的值． 17．（本小题满分12分） 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表: 对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图5 （1）求直方图中的值； （2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数； （3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示．已知, , ） 18．（本小题满分１４分） 如图６，已知正方体的棱长为２，点Ｅ是正方形的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱的中点．设点分别是点Ｅ、Ｇ在平面内的正投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形在平面内 的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线； （３）求异面直线所成角的正弦值 19．（本小题满分１４分） 已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合． （１）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程； （２）若曲线与有公共点，试求的最小值． 20．（本小题满分１４分） 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设． （１）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值； （２）如何取值时，函数存在零点，并求出零点． 21．（本小题满分１４分） 已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为． （１）求数列的通项公式； （２）证明： 答 案 1.解：，，所以 故，选B 2. 解：因为 ，， ，所以满足的最小正整数的值是4。故，选C .解：由函数是函数的反函数，可知， 又其图像经过点，即，所以a=, 。故答B 。解：在中，令n=5,得，令n=3,得， 又，所以，，从而解得，公比，， ，， 所以1+3+…+（2n-1）= 5.解： 显然 ①和③是假命题，故否定A,B,C, 答 D. 6.解：依题意，可知，所以， ==28. 所以，力的大小为， 答D。 7。解：若小张和小赵两人都被选中，则不同的选派方案有种， 若小张和小赵两人只有一人都被选中，则不同的选派方案有种， 故， 总的不同的选派方案共有12+24=36种。 答A。 8. 解：因为速度函数是路程函数的导函数，即，所以， 根据定积分的定义，比较图中速度曲线分别与x轴及直线， 围成的图形的面积，即可看出，应选A。 9.解：记时求得的S值为,记初始值为, 则,, ,……, 故,答案为(1) ；(2)这n件产品的平均长度。 10。解：设，则，依题意，得 ，解得或，所以或。 答： 或。 11.解：设椭圆G的方程为，焦半径为c, 依题意，得2a=12，且， 解得a=6，c=, 所以 所以， 椭圆G的方程为。 12。解：依题意，得 ，解得 答： ； 13．解：直线化为普通方程是， 该直线的斜率为， 直线（为参数）化为普通方程是， 该直线的斜率为， 则由两直线垂直的充要条件，得， 。 14。解： 解得且。所以原不等式的解集为{x|且} 15．解法一：连结OA，OB，则∠AOB=2∠ACB=90O， 所以△AOB为等腰直角三角形，又， 所以，圆O的半径R=，圆的面积等于 解法二：设圆O的半径为R，在△ABC中，由正弦定理， 得，解得R=， 所以，圆的面积等于 16．解：（1）∵ 向量与互相垂直， ∴ ，即①， 又 ② ① 代入②，整理，得， 由，可知， ∴，代入①得 故 ， 。 （2）∵， ∴ 将（1）的结果代入其中，得 整理，得③， 又④ ③代入④，整理，得 由，可知， 所以，解得。 17.解：（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于1， 依题意，得 又 所以 。 （2）一年中空气质量为良和的天数为 （天）； 一年中空气质量为轻微污染的天数为 （天）； （3）由（2）可知，在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219（天） 所以，在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是， 设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为ξ，则ξ~B（7，） ，（k=0,1,2,…,7） 设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A，则 = ==. 18.(1)解：∵点D,分别是点A,Ｅ,Ｇ在平面内的正投影． ∴四边形在平面内的正投影为四边形 又⊥平面 ，且 所以，所求锥体的体积为 = （２）证明：∵⊥平面 ，平面 ， ∴⊥ ∵在正方形中，分别是的中点， ∴， ∴ ∴⊥ 又∩= ∴； （３）设的中点为H，连结EH， 则EH∥∥CD，且EH==CD=2， ∠AEH就是异面直线所成角 又CD⊥平面， ∴EH⊥平面 在RT△AEH中，EH =2，AH=，所以EA= 所以，异面直线所成角的正弦值为。 解法2：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ， 又面，，∴. （2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，， ∴，，即，， 又，∴平面. （3），，则，设异面直线所成角为，则. 19.解：（1）解曲线C与直线的联立方程组,得,, 又，所以点A，B的坐标分别为 ∵点是线段的中点 ∴点的坐标为 ∵点是上的任一点，且点与点和点均不重合． ∴ ， 即，且 设线段的中点为(x,y), 则点M的轨迹的参数方程为（s为参数，且）； 消去s 整理，得，且 所以，线段的中点的轨迹方程是，； （２）曲线可化为， 它是以G(a,2)为圆心，以为半径的圆， 设直线与y轴相交于点E，则E点的坐标为E(0,2)； 自点A做直线的垂线，交直线y=2 于点F， 在RT△EAF中，∠AEF= ，，所以， ∵ ， ∴当且圆G与直线相切时，圆心G必定在线段FE上， 且切点必定在线段AE上， 于是，此时的a的值就是所求的最小值。 当圆G与直线相切时 ， 解得，或者（舍去） 所以，使曲线G与平面区域D有公共点的a的最小值是． （备注：讨论圆G与直线切点的位置的必要性。若圆G的半径大于|AF|,则圆G与直线的切点将落在线段EA的延长线上，此时，圆G与平面区域D没有公共点，这时令圆G过点A，求出的a 的两个值，其中的那个较小的数，才是所求。） 20.解：设二次函数的解析式为 则它的导函数为， ∵ 函数的图像与直线平行， ∴ 2a=2，解得a=1, 所以 ， ∵在处取得极小值 ∴，即，解得。 所以 ，=（） （1）设点点P（，）为曲线上的任意一点 则点P到点的距离为 由基本不等式定理可知， 当且仅当时，等号“=”成立，此时= 又已知点P到点的距离的最小值为，所以令 两边平方整理， 得 当时，，解得 当时，，解得 所以，的值为或者； （2）函数令=（） 令，即（）， 整理，得（），① 函数存在零点，等价于方程①有非零实数根， 由可知，方程①不可能有零根， 当k=1 时，方程①变为，解得，方程①有唯一实数根， 此时， 函数存在唯一的零点； 当k≠1 时，方程①根的判别式为， 令=0，解得， 方程①有两个相等的实数根， 此时， 函数存在唯一的零点； 令>0，得m(1-k)<1 , 当m>0时，解得， 当m<0时，解得， 以上两种情况下，方程①都有两个不相等的实数根 ， 此时， 函数存在两个零点 ， 综上所述，函数存在零点的情况可概括为 当k=1 时，函数存在唯一的零点； 当时，函数存在唯一的零点； 当 m>0且，或者m<0且时，函数存在两个零点 ，。 21.（1）解：曲线可化为， 所以，它表示以为圆心，以n 为半径的圆， 切线的方程为， 联立，消去y 整理，得，① ， 令，解得， 此时，方程①化为 整理，得，解得， 所以 ∴数列的通项公式为 数列的通项公式为。 （２）证明：∵， ∴ == ∵=，又 令，则， 要证明，只需证明当时，恒成立即可。 设函数， 则， ∵ 在区间上为增函数， ∴当时，， ∴在区间上为单调递减函数， ∴ 对于一切很成立， ∴ ，即= 综上，得