2009年湖南高考理科数学试题及答案.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 理科数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，，则【 】 A．, B．, C. , D. , 2．对于非零向量“”是“”的【 】 A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于【 】 A． B． C. D. 4．如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则【 】 A ． B ． C ． D ． 5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 】 A． 85 B． 56 C ．49 D ．28 6．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为【 】 A． B． C． D． 7．正方体的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为【 】 A．2 B．3 C． 4 D．5 8．设函数在内有定义.对于给定的正数K，定义函数取函数。若对任意的，恒有，则【 】 A．K的最大值为2 B．K的最小值为2 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ _ _. 10．在的展开式中，的系数为___(用数字作答). 11．若，则的最小值为 . 12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为，则双曲线C的离心率为 13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为 。 14．在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 （1）球心到平面ABC的距离为 ； （2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 . 15．将正分割成个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为，则有， ，… ， . 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 在中，已知，求角A，B，C的大小 17．（本小题满分12分） 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。 18．（本小题满分12分） 如图4，在正三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，且 （I）证明：平面平面； （II）求直线和平面所成角的正弦值。 19．（本小题满分13分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元。 （Ⅰ）试写出关于的函数关系式； （Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？ 20．（本小题满分13分） 在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d. 当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 （Ⅰ）求点P的轨迹C； （Ⅱ）设过点F的直线与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 21．（本小题满分13分） 对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有 , 则称数列为数列. （Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由; 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论； （Ⅱ）设是数列的前项和，给出下列两组论断； A组：①数列是B-数列, ②数列不是B-数列; B组：③数列是B-数列, ④数列不是B-数列. 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论 组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论； (Ⅲ)若数列都是数列，证明：数列也是数列。 2009年高考湖南理科数学试题及全解全析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（09湖南理）若，，则【 D 】 A．, B．, C. , D. , 解:由,，易知D正确. 2．（09湖南理）对于非零向量“”是“”的【 A 】 A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解:，；反之不成立，故选A. 3．（09湖南理）将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于【 D 】 A． B． C. D. 解:依题意得，，易知D正确. 4．（09湖南理）如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则【 B 】 A ． B ． C ． D ． 解: 易知，故可排除C,D,再取特殊值，结合图像可得，故选B. 5．（09湖南理）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 C 】 A． 85 B． 56 C ．49 D ．28 解: 除开丙，由间接法得，故选C. 6．（09湖南理）已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为【 B 】 A． B． C． D． 解:作图，由， 故弧长为，选B. 7．（09湖南理）正方体的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为【 C 】 A．2 B．3 C． 4 D．5 解:如图，用列举法知合要求的点的个数为： 的点E、的点F、、D， 共4个，故选C. 8．（09湖南理）设函数在内有定义.对于给定的正数K，定义函数 取函数。若对任意的，恒有，则【 D 】 A．K的最大值为2 B．K的最小值为2 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1 解: 由恒成立知,故K有最小值，可排除A,C,又由直觉思维得在时，，排除B,因此选D. 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9．（09湖南理）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 12_ _. 解: 设所求人数为，则只喜爱乒乓球运动的人数为， 故. 注：最好作出韦恩图！ 或由人. 10．（09湖南理）在的展开式中，的系数为__7__(用数字作答). 解: 故有：，得的系数为7. 11．（09湖南理）若，则的最小值为 . 解: ， 当且仅当时取等号. 12．（09湖南理）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为，则双曲线C的离心率为 . 解: 设双曲线C的左右焦点为，虚轴的上下两个端点为，由于 故,则有, , 13．（09湖南理）一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为 40 。 解: 设B层中的个体数为，则，则总体中的个体数为 14．（09湖南理）在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 （1）球心到平面ABC的距离为 12 ； （2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 3 . 解: 由AB=6，BC=8，CA=10得是以B为直角顶点的直角三角形， （1）设斜边AC的中点为,则，故; （2）作,则，故 15．（09湖南理）将正分割成个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2, 3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为，则有， ，… ， . 解: 若依题意顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1，按等差数列的性质进行计算则显然运算量较大,故常规思维不可取！可偏偏特取A ,B ,C处的数均为（极限法）来思考： 则图2中有个，得；故图3中有个，得 ；易知时有个， 探讨数列 （可参考2006湖南卷: 逆序数）由叠加法推知: 个, 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（09湖南理）（本小题满分12分） 在中，已知，求角A，B，C的大小. 解： 设. 由得，所以. 又因此 . 由得，于是. 所以，，因此 ，既. 由知，所以，从而 或，既或故 或。 17．（09湖南理）（本小题满分12分） 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和 产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现在3名 工人独立地从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数， 求的分布列及数学期望。 解: 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立， 相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立， 且 （Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P= （Ⅱ）解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为， 由已知， B（3，），且=3-。 所以P（=0）=P（=3）==， P（=1）=P（=2）= =， P（=2）=P（=1）==， P（=3）=P（=0）= = . 故的分布列是 0 1 2 3 P 的数学期望E=+++=2. 解法2: 记第名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件， i=1,2,3 . 由已知，相互独立，且 P（）=（）= P（）+P（）=+=， 所以,即， 故的分布列是 0 1 2 3 P 18．（09湖南理）（本小题满分12分） 如图4，在正三棱柱中，， 点D是的中点，点E在上，且. （I）证明：平面平面； （II）求直线和平面所成角的正弦值。 解：（I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面. 又DE平面，所以DE.而DEAE，AE=A， 所以DE平面.又DE平面ADE，故平面平面. （2）解法1： 如图所示，设F是AB的中点，连接DF，DC，CF. 由正三棱柱的性质及D是的中点知， CD，DF .又CDDF=D， 所以平面CDF.而AB∥， 所以AB平面CDF.又AB平面ABC， 故平面AB C平面CDF。 过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面AB C。 连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。 由已知AB=A A，不妨设A A=，则AB=2，DF=，D C=， CF=，AD==，DH===. 所以 sinHAD==。即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为. 解法2： 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系， 不妨设A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，，）。 易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，，）. 设平面ABC的法向量为,则有 解得 故可取. 所以，==。 由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。 19．（09湖南理）（本小题满分13分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元。 （Ⅰ）试写出关于的函数关系式； （Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？ 解：（Ⅰ）设需新建个桥墩，则， 所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令，得，所以=64. 当0<<64时，<0，在区间（0，64）内为减函数； 当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数. 所以在=64处取得最小值，此时 故需新建9个桥墩才能使最小。 20．（09湖南理）（本小题满分13分） 在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d. 当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 . （Ⅰ）求点P的轨迹C； （Ⅱ）设过点F的直线与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y）， 则由题设，， 即. ……① 当x>2时，由①得 ……② 化简得 当时，由①得……③ 化简得. 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1. （Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2 与，的交点都是A（2，），B（2，）， 直线AF，BF的斜率分别为=，=. 当点P在上时，由②知. …… ④ 当点P在上时，由③知 . …… ⑤ 若直线的斜率k存在，则直线的方程为. （ⅰ）当k≤，或k≥，即k≤或k≥时，直线与轨迹C 的两个交点都在上，此时由④知 ， 从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 -）+（6 - ）=12 - ( +). 由 得. 则，是这个方程的两根，所以+=，∣MN∣=12 -（+）=12 -. 因为当所以 当且仅当时，等号成立。 （ⅱ）当时，直线与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点在上， 则由④⑤知，. 设直线AF与椭圆的另一交点为E ， 所以。而点A，E都在上， 且由（ⅰ）知 . 若直线的斜率不存在，则==3，此时 . 综上所述，线段MN长度的最大值为. 21．（09湖南理）（本小题满分13分） 对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有 ,则称数列为数列. （Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由; 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论； （Ⅱ）设是数列的前项和，给出下列两组论断； A组：①数列是B-数列, ②数列不是B-数列; B组：③数列是B-数列, ④数列不是B-数列. 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论 组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论； (Ⅲ)若数列都是数列，证明：数列也是数列。 解:（Ⅰ）设满足题设的等比数列为,则，于是 . 因此= 因为所以即 . 故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。 （Ⅱ）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列. 此命题为假命题。 事实上，设，易知数列是B-数列，但, . 由的任意性知，数列不是B-数列。 命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列. 此命题为真命题. 事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有 ， 即。于是 ， 所以数列是B-数列。 （注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） （III）若数列是数列，则存在正数，对任意的有 ； ， 注意到 . 同理， . 记，， 则有 . 因此 . 故数列是数列.