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2009年辽宁高考理科数学真题及答案 一- 选择题（每小题5分，共60分） （1）已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|-5<x<5},则M∩N= (A) {x|-5<x<5} (B) {x|-3<x<5} (C) {x|-5<x≤5} (D) {x|-3<x≤5} （2）已知复数，那么= （A） （B） （C） （D） （3）平面向量a与b的夹角为，， 则 （A） (B) (C) 4 (D)12 (4) 已知圆C与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为 （A） (B) (C) (D) （5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （A）70种 （B） 80种 （C） 100种 （D）140种 （6）设等比数列{}的前n 项和为，若=3 ，则 = （A） 2 （B） （C） （D）3 (7)曲线y=在点（1，-1）处的切线方程为 （A）y=x-2 (B) y=-3x+2 (C)y=2x-3 (D)y=-2x+1 (8)已知函数=Acos()的图象如图所示，，则= （A） (B)- (C) (D) （9）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是 （A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，） （10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据，，。。。，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用右边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的 （A）A>0,V=S-T (B) A<0,V=S-T (C) A>0, V=S+T （D）A<0, V=S+T （11）正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为 （A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2 （12）若满足, 满足, += （A） (B)3 (C) (D)4 （13）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h. （14）等差数列的前项和为，且则 （15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 （16）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。 （17）（本小题满分12分） 如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） （18）（本小题满分12分） 如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。 （Ⅰ）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦； （Ⅱ）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 （19）（本小题满分12分） 某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。 （Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列； （Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A） （20）（本小题满分12分） 已知，椭圆C过点A，两个焦点为（-1，0），（1，0）。 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 （21）（本小题满分12分） 已知函数 （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）证明：若，则对任意x，x，xx，有。 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 已知ABC中，AB=AC, D是ABC外接圆劣弧上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。 （Ⅰ）求证：AD的延长线平分CDE； （Ⅱ）若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+，求ABC外接圆的面积。 （23）（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。 （Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； （Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数。 （Ⅰ）若解不等式； （Ⅱ）如果,,求的取值范围。 参考答案 (1) B (2) D (3) B (4)B (5)A (6)B (7)D (8) C (9) A (10) C (11)C (12)C (13)1013 (14) (15) 4 (16)9 (17)解: 在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30°, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，        ……5分 在△ABC中， 即 因此， 故B，D的距离约为0.33km。  ……12分 （18）（I）解法一： 取CD的中点G，连接MG，NG。 设正方形ABCD，DCEF的边长为2， 则MG⊥CD，MG=2，NG= 因为平面ABCD⊥平面DCED， 所以MG⊥平面DCEF， 可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。 因为MN=，所以为MN与平面DCEF所成角的正弦值 ……6分 解法二： 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图. 则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(-1,1,2). 又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量， 可得· 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为 · ……6分 （Ⅱ）假设直线ME与BN共面， ……8分 则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。 又AB//CD，所以AB//平面DCEF。而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以AB//EN。 又AB//CD//EF， 所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。 所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ……12分 （19）解： （Ⅰ）依题意知， 即的分列为 0 1 2 3 4 ………………6分 （Ⅱ）设表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2. 表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2. 依题意知， , 所求的概率为 = = ………12分 （20）解： （Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为， 因为在椭圆上，所以，解得，（舍去） 所以椭圆方程为。 ……………4分 （Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得 设,,因为点在椭圆上，所以 ………8分 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得 所以直线EF的斜率 即直线EF的斜率为定值，其值为。 ……12分 (21)解：(1)的定义域为。 ……2分 （ⅰ）若即,则 故在单调增加。 （ⅱ）若,而,故,则当时，; 当及时， 故在单调减少，在单调增加。 （ⅲ）若,即,同理可得在单调减少，在单调增加. （Ⅱ）考虑函数 则 由于1<a<5,故，即在(0, +∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有 ·········12分 （22）解： （Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点 ∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠CDF=∠ABC 又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即AD的延长线平分∠CDE. （Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC. 连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=150, ∠ACB=750, ∴∠OCH=600. 设圆半径为,则得,外接圆的面积为。 （23）解： （Ⅰ）由得 从而C的直角坐标方程为 即 ……5分 （Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0） N点的直角坐标为 所以P点的直角坐标为则P点的极坐标为 所以直线OP的极坐标方程为 （24）解： （Ⅰ）当时， 由≥3得 ≥3 （ⅰ）x≤-1时，不等式化为 1-x-1-x≥3 即-2x≥3 不等式组的解集为 综上得，的解集为 ……5分 （Ⅱ）若，不满足题设条件 若 的最小值为 的最小值为 所以的充要条件是，从而的取值范围为 ……10分