2010年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）.doc

绝密★启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1.不等式的解集是 。 2.若复数（为虚数单位），则 。 解析：考查复数基本运算 3. 动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 。 4.行列式的值是 。 5. 圆的圆心到直线l:的距离 。 6. 随机变量的概率分布率由下图给出： 则随机变量的均值是 7. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。 8.对任意不等于1的正数a，函数f(x)=的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是 9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（AB）= （结果用最简分数表示） 10．在行n列矩阵中， 记位于第行第列的数为。当时， 。 11. 将直线、（，）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为，则 。 12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为 13。如图所示，直线x=2与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是 14.以集合U=的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件： （1）a、b都要选出； （2）对选出的任意两个子集A和B，必有，那么共有 种不同的选法。 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。 15．“”是“”成立的 [答]（ ） （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件. 16.直线l的参数方程是，则l的方向向量是可以是 【答】（ ） (A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2) 17.若是方程的解，则属于区间 【答】（ ） (A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(0,) 18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能 【答】（ ） （A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形 （C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。 19.（本题满分12分） 已知，化简： . 20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。 已知数列的前项和为，且， （1）证明：是等比数列； （2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。 （2）= n=15取得最小值 21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到0.01平方米）; （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示） 22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。 若实数、、满足，则称比远离. （1）若比1远离0，求的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离； （3）已知函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）. 23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知椭圆的方程为，点P的坐标为（-a，b）. （1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标； （2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点； （3）对于椭圆上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤，并求出使、存在的θ的取值范围. 2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理科） 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1.不等式的解集是 （-4,2） 。 解析：考查分式不等式的解法等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<2 2.若复数（为虚数单位），则 6-2i 。 解析：考查复数基本运算 3. 动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 。 解析：考查抛物线定义及标准方程 定义知的轨迹是以为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y2=8x 4.行列式的值是 0 。 解析：考查行列式运算法则= 5. 圆的圆心到直线l:的距离 3 。 解析：考查点到直线距离公式 圆心（1,2）到直线距离为 6. 随机变量的概率分布率由下图给出： 则随机变量的均值是 8.2 解析：考查期望定义式E=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2 7. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 S S+a 。 8.对任意不等于1的正数a，函数f(x)=的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是 （0，-2） 解析：f(x)=的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2） 9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（AB）==（结果用最简分数表示） 解析：考查互斥事件概率公式 P（AB）= 10．在行n列矩阵中， 记位于第行第列的数为。当时， 45 。 解析：1+3+5+7+9+2+4+6+8=45 11. 将直线、（，）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为，则 1 。 解析：B 所以BO⊥AC， = 所以 12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为 解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为的正三棱锥， 高为所以该四面体的体积为 13。如图所示，直线x=2与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是 4ab=1 解析： =，点P在双曲线上 ，化简得4ab=1 14.以集合U=的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件： （1）a、b都要选出； （2）对选出的任意两个子集A和B，必有，那么共有 36 种不同的选法。 解析：列举法 共有36种 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。 15．“”是“”成立的 [答]（ A ） （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件. 解析：，所以充分； 但反之不成立，如，所以不必要 16.直线l的参数方程是，则l的方向向量是可以是 【答】（C） (A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2) 解析：直线l的一般方程是，，所以C正确 17.若是方程的解，则属于区间 【答】（C） (A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(0,) 解析：结合图形，∴属于区间(,) 18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能 【答】（D） （A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形 （C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形 解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知 由余弦定理得，所以角A为钝角 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。 19.（本题满分12分） 已知，化简： . =0 20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。 已知数列的前项和为，且， （1）证明：是等比数列； （2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。 （2）= n=15取得最小值 解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以， 又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列； (2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)； 解不等式Sn<Sn+1，得，，当n≥15时，数列{Sn}单调递增； 同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减；故当n=15时，Sn取得最小值． 21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到0.01平方米）; （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示） 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0<r<0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p， 所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米； (2) 当r=0.3时，l=0.6，建立空间直角坐标系，可得，， 设向量与的夹角为q，则， 所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小为． 22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。 若实数、、满足，则称比远离. （1）若比1远离0，求的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离； （3）已知函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）. 解析：(1) ； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，， 因为， 所以，即a3+b3比a2b+ab2远离； (3) ， 性质：1°f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2°f(x)是周期函数，最小正周期， 3°函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ， 4°函数f(x)的值域为． 23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知椭圆的方程为，点P的坐标为（-a，b）. （1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标； （2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点； （3）对于椭圆上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤，并求出使、存在的θ的取值范围. 解析：(1) ； (2) 由方程组，消y得方程， 因为直线交椭圆于、两点， 所以D>0，即， 设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， 则， 由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p， 又因为，所以， 故E为CD的中点； (3) 求作点P1、P2的步骤：1°求出PQ的中点， 2°求出直线OE的斜率， 3°由知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率， 4°从而得直线CD的方程：， 5°将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标． 欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内， 所以，化简得，， 又0<q <p，即，所以， 故q 的取值范围是．