2007年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）.doc

绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果， 每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数的定义域是 ． 2．若直线与直线平行，则 ． 3．函数的反函数 ． 4．方程 的解是 ． 5．已知，且，则的最大值是 ． 6．函数的最小正周期 ． 7．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的 概率是 （结果用数值表示）． 8．以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程 是 ． 9．对于非零实数，以下四个命题都成立： ① ； ② ； ③ 若，则； ④ 若，则． 那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 ． 10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知是两个 相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是 直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异 面直线的充分条件： ． 11．已知为圆上任意 一点（原点除外），直线 的倾斜角为弧度，记． 在右侧的坐标系中，画出以 为坐标的点的轨迹的大致图形为 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都 写在圆括号内），一律得零分． 12．已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程 的两个根，那么的值分别是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 13．设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 14．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，则的可能值个数是（　　） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 15．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时， 总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是（　　） Ａ．若成立，则当时，均有成立 Ｂ．若成立，则当时，均有成立 Ｃ．若成立，则当时，均有成立 Ｄ．若成立，则当时，均有成立 三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分） 如图，在体积为1的直三棱柱中， ． 求直线与 平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 17．（本题满分14分） 在中，分别是三个内角的对边．若，，求的面积． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2% （如，2003年的年生产量的增长率为36%）． （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数，常数． （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分， 第3小题满分9分． 如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”． （1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且， ．依次写出的每一项； （2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中 是首项为，公差为的等差数列．记各项的和为．当为 何值时，取得最大值？并求出的最大值； （3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”， 使得依次是该数列中连续的项；当时， 求其中一个“对称数列”前项的和． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分， 第3小题满分8分． 我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，． 如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆” y O . . x . 与，轴的交点． （1） 若是边长为1的等边三角形， 求“果圆”的方程； （2）当时，求的取值范围； （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦． 试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆” 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在， 求出所有可能的值；若不存在，说明理由． 绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果， 每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】 Þ 2．若直线与直线平行，则 ． 【答案】 【解析】 3．函数的反函数 ． 【答案】 【解析】由 4．方程 的解是 ． 【答案】 【解析】 （舍去），。 5．已知，且，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】 ，当且仅当x=4y=时取等号. 6．函数的最小正周期 ． 【答案】 【解析】 。 7．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的 概率是 （结果用数值表示）． 【答案】 【解析】 8．以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程 是 ． 【答案】 【解析】双曲线的中心为O（0,0），该双曲线的左焦点为F（－3,0），则抛物线的顶点为（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是) 9．对于非零实数，以下四个命题都成立： ① ； ② ； ③ 若，则； ④ 若，则． 那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 ． 【答案】②④ 【解析】 对于①：解方程得 a=± i，所以非零复数 a = ± i 使得， ①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则 ¿，所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的所有序号是②④ 10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知是两个 相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是 直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异 面直线的充分条件： ． 【答案】 ，并且与相交（，并且与相交） 【解析】 作图易得“能成为是异面直线的充分条件”的是“，并且与相交”或“，并且与相交”。 11．已知为圆上任意 一点（原点除外），直线 的倾斜角为弧度，记． 在右侧的坐标系中，画出以 为坐标的点的轨迹的大致图形为 【答案】 【解析】 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都 写在圆括号内），一律得零分． 12．已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程 的两个根，那么的值分别是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】A 【解析】 因为2+ a i，b+i（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 的两个根，所以a=－1，b=2，所以实系数一元二次方程的两个 根是 所以。 13．设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】C 【解析】若a<b<0Þa2>b2，A不成立；若B不成立； 若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C。 14．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形 中，若，则的可能值个数是（　　） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 【答案】B 【解析】解法一： （1） 若A为直角，则； （2） 若B为直角，则； （3） 若C为直角，则。 所以 k 的可能值个数是2，选B 解法二：数形结合．如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B 15．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时， 总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是（　　） Ａ．若成立，则当时，均有成立 Ｂ．若成立，则当时，均有成立 Ｃ．若成立，则当时，均有成立 Ｄ．若成立，则当时，均有成立 【答案】D 【解析】 对A，当k=1或2时，不一定有成立；对B，应有成立； 对C，只能得出：对于任意的，均有成立，不能得出：任意的， 均有成立；对D，对于任意的， 均有成立。故选D。 三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分） 如图，在体积为1的直三棱柱中， ． 求直线与 平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【解析】法一： 由题意，可得体积， ．连接． ， 平面， 是直线与平面所成的角． ，， 则 ＝．即直线与平面所成角的大小为． 法二： 由题意，可得 体积， ， 如图，建立空间直角坐标系． 得点， ，． 则， 平面的法向量为． 设直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则， ， 即直线与平面所成角的大小为． 17．（本题满分14分） 在中，分别是三个内角的对边．若，，求的面积． 【解析】 由题意，得为锐角，， ， 由正弦定理得 ， ． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2% （如，2003年的年生产量的增长率为36%）． （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 【解析】（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 ，，，． 则2006年全球太阳电池的年生产量为 (兆瓦)． （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．解得． 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数，常数． （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 对任意，， 为偶函数． 当时，， 取，得 ， ， 函数既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设， ， 要使函数在上为增函数，必须恒成立． ，即恒成立． 又，． 的取值范围是． 解法二：当时，，显然在为增函数． 当时，反比例函数在为增函数，在为增函数． 当时，同解法一． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分， 第3小题满分9分． 如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”． （1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且， ．依次写出的每一项； （2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中 是首项为，公差为的等差数列．记各项的和为．当为 何值时，取得最大值？并求出的最大值； （3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”， 使得依次是该数列中连续的项；当时， 求其中一个“对称数列”前项的和． 【解析】（1）设的公差为，则，解得 ， 数列为． （2）， ， 当时，取得最大值．的最大值为626． （3）所有可能的“对称数列”是： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 对于①，当时，． 当时， ． 对于②，当时，． 当时，． 对于③，当时，． 当时，． 对于④，当时，． 当时，． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分， 第3小题满分8分． 我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，． 如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆” y O . . x . 与，轴的交点． （2） 若是边长为1的等边三角形， 求“果圆”的方程； （2）当时，求的取值范围； （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦． 试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆” 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在， 求出所有可能的值；若不存在，说明理由． y O . . . M x 【解析】（1） ， ， 于是，所求“果圆”方程为 ， （2）由题意，得 ，即． ，，得． 又． ． （3）设“果圆”的方程为，． 记平行弦的斜率为． 当时，直线与半椭圆的交点是 ，与半椭圆的交点是． 的中点满足 得 ． ， ． 综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． 当时，以为斜率过的直线与半椭圆 的交点是． 由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上， 即不在某一椭圆上． 当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．