2007年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）.doc

绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果， 每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．方程的解是 ． 2．函数的反函数 ． 3．直线的倾斜角 ． 4．函数的最小正周期 ． 5．以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点 的抛物线方程是 ． A 6．若向量的夹角为，，则 ． 7．如图，在直三棱柱中，， ，，则异面直线与所成角 的大小是 （结果用反三角函数值表示）． 8．某工程由四道工序组成，完成它们需用时间依次为天．四道工 序的先后顺序及相互关系是：可以同时开工；完成后，可以开工； 完成后，可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序需要的天数最大是　　． 9．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． 10．对于非零实数，以下四个命题都成立： ① ； ② ； ③ 若，则； ④ 若，则． 那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 ． 11．如图，是直线上的两点，且．两个半径 相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公 共点，则圆弧，与线段围成图形面积的 取值范围是 ． 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都 写在圆括号内），一律得零分． 12．已知，且（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程 的两个根，那么的值分别是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 13．圆关于直线对称的圆的方程是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 14．数列中， 则数列的极限值（　　） Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于或 Ｄ．不存在 15．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时， 总可推出成立”． 那么，下列命题总成立的是（　　） Ａ．若成立，则成立 Ｂ．若成立，则成立 Ｃ．若成立，则当时，均有成立 Ｄ．若成立，则当时，均有成立 三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分） 如图,在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为， 求正四棱锥的体积． 17．（本题满分14分） 在中，分别是三个内角的对边．若， ，求的面积． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到 670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2% （如，2003年的年生产量的增长率为36%）． （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际 安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数，常数． （1）当时，解不等式； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分， 第3小题满分9分． 如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，， 即（），我们称其为“对称数列”． 例如，数列与数列都是“对称数列”． （1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，． 依次写出的每一项； （2）设是项的“对称数列”，其中是首项为， 公比为的等比数列，求各项的和； （3）设是项的“对称数列”，其中是首项为， 公差为的等差数列．求前项的和． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分， 第3小题满分9分． 我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线 称作“果圆”，其中，，． y O . . . M x . 如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点． （1） 若是边长为1的等边三角形， 求该“果圆”的方程； （2）设是“果圆”的半椭圆 上任意一点．求证：当取得 最小值时，在点或处； （2） 若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标． 绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果， 每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．方程的解是 ． 【答案】 【解析】 2．函数的反函数 ． 【答案】 【解析】由 3．直线的倾斜角 ． 【答案】 【解析】. 4．函数的最小正周期 ． 【答案】 【解析】. 5．以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点 的抛物线方程是 ． 【答案】 【解析】双曲线的中心为O（0,0），该双曲线的右焦点为F（3,0）， 则抛物线的顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是)。 6．若向量的夹角为，，则 ． 【答案】 A 【解析】。 7．如图，在直三棱柱中，， ，，则异面直线与所成角 的大小是 （结果用反三角函数值表示）． 【答案】 【解析】异面直线与所成角为，易求， 。 8．某工程由四道工序组成，完成它们需用时间依次为天．四道工 序的先后顺序及相互关系是：可以同时开工；完成后，可以开工； 完成后，可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序需要的天数最大是　　． 【答案】3 【解析】因为完成后，才可以开工，C完成后，才可以开工，完成A、C、D 需用时间依次为天，且可以同时开工，该工程总时数为9天， 。 9．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． 【答案】 【解析】剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇， 所以剩下两个数字都是奇数的概率是。 10．对于非零实数，以下四个命题都成立： ① ； ② ； ③ 若，则； ④ 若，则． 那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 ． 【答案】②④ 【解析】 对于①：解方程得 a=± i，所以非零复数 a = ± i 使得， ①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则 ¿， 所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的 所有序号是②④ 11．如图，是直线上的两点，且．两个半径 相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公 共点，则圆弧，与线段围成图形面积的 取值范围是 ． 【答案】 【解析】如图，当外切于点C时，最大， 此时，两圆半径为1，等于矩形ABO2O1的面积 减去两扇形面积， ， 随着圆半径的变化，C可以向直线靠近， 当C到直线的距离。 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都 写在圆括号内），一律得零分． 12．已知，且（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程 的两个根，那么的值分别是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】A 【解析】 因为2+ a i，b+3i（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根， 所以2+ a i与b+3i互为共轭复数，则 a=－3，b=2。选A。 13．圆关于直线对称的圆的方程是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】C 【解析】圆，圆心（1，0），半径，关于直线对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线上，C中圆的圆心为（－3，2），验证适合，故选C。 14．数列中， 则数列的极限值（　　） Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于或 Ｄ．不存在 【答案】B 【解析】，选B。 15．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时， 总可推出成立”． 那么，下列命题总成立的是（　　） Ａ．若成立，则成立 Ｂ．若成立，则成立 Ｃ．若成立，则当时，均有成立 Ｄ．若成立，则当时，均有成立 【答案】D 【解析】 对A，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若成立，则不一定成立；对B，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若成立，则成立，不能得出：．若成立，则成立；对C，当k=1或2时，不一定有成立；对D，对于任意的，均有成立。故选D。 三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分） 如图,在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为， 求正四棱锥的体积． 【解析】作平面，垂足为．连接， 是正方形的中心，是直线与平面 所成的角． ＝，． ． ，， ． 17．（本题满分14分） 在中，分别是三个内角的对边．若， ，求的面积． 【解析】由题意，得为锐角，， ， 由正弦定理得 ， ． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到 670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2% （如，2003年的年生产量的增长率为36%）． （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际 安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 【解析】（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 ，，，． 则2006年全球太阳电池的年生产量为 (兆瓦)． （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则． 解得． 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数，常数． （1）当时，解不等式； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由． 【解析】（1），， ． 原不等式的解为． （2）当时，，对任意， ， 为偶函数． 当时，， 取，得 ， ， 函数既不是奇函数，也不是偶函数． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分， 第3小题满分9分． 如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，， 即（），我们称其为“对称数列”． 例如，数列与数列都是“对称数列”． （1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，． 依次写出的每一项； （2）设是项的“对称数列”，其中是首项为， 公比为的等比数列，求各项的和； （3）设是项的“对称数列”，其中是首项为， 公差为的等差数列．求前项的和． 【解析】（1）设数列的公差为，则，解得 ， 数列为． （2） 67108861． （3）． 由题意得 是首项为，公差为的等差数列． 当时，． 当时， 综上所述， 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分， 第3小题满分9分． 我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线 称作“果圆”，其中，，． y O . . . M x . 如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点． （3） 若是边长为1的等边三角形， 求该“果圆”的方程； （2）设是“果圆”的半椭圆 上任意一点．求证：当取得 最小值时，在点或处； （4） 若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标． 【解析】（1） ， ，于是， 所求“果圆”方程为，． （2）设，则 ， ， 的最小值只能在或处取到． 即当取得最小值时，在点或处． （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可． ． 当，即时，的最小值在时取到， 此时的横坐标是． 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是． 综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是； 若，当取得最小值时，点的横坐标是或．