2003年上海高考数学真题（理科）试卷（word版）.doc

绝密★启用前 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 第Ⅰ卷 （共110分） 一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分 1．函数的最小正周期T= . 2．若 . 3．在等差数列中，a5=3, a6=－2,则a4+a5+…+a10= 4．在极坐标系中，定点A点B在直线上运动，当线段AB最短 时，点B的极坐标是 5．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示） 6．设集合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 则集合{x|x∈A且= . 7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示） 8．若首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）= . 9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示） 10．方程x3+lgx=18的根x≈ .（结果精确到0.1） 11．已知点其中n的为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面积，则= . 12．给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. 二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. 13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （ ） A．y=tg|x|. B．y=cos(－x). C． D．. 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ） A．α、β都垂直于平面r. B．α内存在不共线的三点到β的距离相等. C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β. D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β. 15．a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为集合M和N，那么“”是“M=N”的 （ ） A．充分非必要条件. B．必要非充分条件. C．充要条件 D．既非充分又非必要条件. 16．f()是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下 列关于函数g（）的叙述正确的是 （ ） A．若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称. B．若a=－1，－2<b<0,则方程g（）=0有大于2的实根. C．若a≠0,b=2,则方程g（）=0有两个实根. D．若a≥1,b<2,则方程g（）=0有三个实根. 三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分） 已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值. 18．（本题满分12分） 已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分. 已知数列（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列. （1）求和： （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱 宽l是多少？ （2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设 计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最最小？ （半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米） 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分. 在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零. （1）求向量的坐标； （2）求圆关于直线OB对称的圆的方程； （3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围. 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分. 已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立. （1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由； （2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=ax∈M； （3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围. 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理工农医类）答案 一、（第1题至第12题） 1．π. 2．. 3．－49 . 4．. 5．arctg2. 6．[1,3]. 7． 8．的一组数）. 9． 10．2.6 . 11．4π 12．|PF2|=17. 二、（第13题至第16题） 题 号 13 14 15 16 代 号 C D D B 三、（第17题至第22题） 17．[解] 故的最大值为最小值为. 18．[解]连结BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD. 在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=. 又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以 ∠B1DB=30°，于是BB1=BD=2. 故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD·BB1=. 19．[解]（1） （2）归纳概括的结论为： 若数列是首项为a1，公比为q的等比数列，则 20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为. 将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得.因此隧道的拱宽约为33.3米. （2）[解一] 由椭圆方程，得 故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小. [解二]由椭圆方程，得 于是 得以下同解一. 21．[解]（1）设得 所以v－3>0,得v=8,故={6，8}. （2）由={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程： 由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为. 设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则 故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10. （3）设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则 故当时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点. 22．[解]（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)= （2）因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点， 所以方程组：有解，消去y得ax=x, 显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T. 于是对于f(x)=ax有 故f(x)=ax∈M. （3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M. 当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有 f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx . 因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R， 于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立， 只有T=，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z . 当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立， 即sin(kx－k+π)= sinkx 成立， 则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1) π, m∈Z . 综合得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}