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2009
年高
数学
理科
陕西
自主
命题
2009年陕西高考理科数学真题及答案
第Ⅰ卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.设不等式的解集为M,函数的定义域为N,则为
(A)[0,1) (B)(0,1) (C)[0,1] (D)(-1,0]
答案:A
解析:不等式的解集是,而函数的定义域为,所以的交集是[0,1),故选择A
2.已知z是纯虚数,是实数,那么z等于
(A)2i (B)i (C)-i (D)-2i
答案:D
解析:代入法最简单
3.函数的反函数为
(A) (B)
(C) (D)
答案:B
4.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为
(A) (B)2 (C) (D)2
答案:D
5.若,则的值为
(A) (B) (C) (D)
答案:A
6.若,则的值为
(A)2 (B)0 (C) (D)
答案:C
解析:则都能表示出来,则等于,再利用倒序相加法求得。
7.“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
答案:C
解析:说明
8.在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于
(A) (B) (C) (D)
答案:A
9.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为
(A)300 (B)216 (C) 180 (D)162
答案:C
解析:分类讨论思想:
第一类:从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为
第二类:取0,此时2和4只能取一个,0还有可能排在首位,组成没有重复数字的四位数的个数为
共有,180个数
10.若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为
(A) (B) (C) (D)
答案:B
解析:正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥,该棱锥的高时正方体高的一半,底面面积是正方体一个面面积的一半,
11.若x,y满足约束条件,目标函数仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是
(A) (,2 ) (B) (,2 ) (C) (D)
答案:B
解析:根据图像判断,目标函数需要和,平行,
由图像知函数a的取值范围是(,2 )
12.定义在R上的偶函数满足:对任意
的,有.
则当时,有
(A) (B)
(C) (C) (D)
答案:C
第Ⅱ卷
二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题4分,共16分).
13.设等差数列的前n项和为,若,则 .
答案:1
14.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有 人。
A
B
O1
O
答案:8
15.如图球O的半径为2,圆是一小圆,,A、B
是圆上两点,若A,B两点间的球面距离为,则= .
答案:
16.设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,令,则的值为 .
答案:-2
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共74分)
17.(本小题满分12分)
已知函数(其中)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.
(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)当,求的值域.
17、解(1)由最低点为得A=2.
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=,即,
由点在图像上的
故
又
(2)
当=,即时,取得最大值2;当
即时,取得最小值-1,故的值域为[-1,2]
18.(本小题满分12分)
C
B
A
C1
B1
A1
如图,在直三棱柱中, AB=1,,∠ABC=60.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求二面角A——B的大小。
18.(本小题满分12分)
解答一(1)证: 三棱柱为直三棱柱,
在中,,由正弦定理
,又
(2)解如图,作交于点D点,连结BD,
由三垂线定理知
为二面角的平面角
在
解答二(1)证三棱柱为直三棱柱,
,,
由正弦定理
如图,建立空间直角坐标系,
则
(2) 解,如图可取为平面的法向量
设平面的法向量为,
则
不妨取
19.(本小题满分12分)
某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示,椐统计,随机变量的概率分布如下:
0
1
2
3
p
0.1
0.3
2a
a
(Ⅰ)求a的值和的数学期望;
(Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。
19题,解(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1,解答a=0.2
的概率分布为
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件表示“两个月内有一个月被投诉2次,另外一个月被投诉0次”;事件表示“两个月内每月均被投诉12次”
则由事件的独立性得
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17
20.(本小题满分12分)
已知函数,其中
若在x=1处取得极值,求a的值;
求的单调区间;
(Ⅲ)若的最小值为1,求a的取值范围。
20. 解(Ⅰ)
∵在x=1处取得极值,∴解得
(Ⅱ)
∵ ∴
①当时,在区间∴的单调增区间为
②当时,
由
∴
(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)①知,
当时,由(Ⅱ)②知,在处取得最小值
综上可知,若得最小值为1,则a的取值范围是
21.(本小题满分12分)
已知双曲线C的方程为,离心率,顶点到渐近线的距离为。
(I)求双曲线C的方程;
(II)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,若,求面积的取值范围。
21.(本小题满分14分)
已知双曲线C的方程为
离心率顶点到渐近线的距离为
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一,二象限.若求△AOB面积的取值范围.
解答一(Ⅰ)由题意知,双曲线C的顶点到渐近线
∴
由 得 ∴双曲线C的方程为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线C的两条渐近线方程为
设
由得P点的坐标为
将P点坐标代入化简得
设∠AOB
又
记
由
当时,△AOB的面积取得最小值2,当时,△AOB的面积取得最大值
∴△AOB面积的取值范围是
解答二(Ⅰ)同解答一
(Ⅱ)设直线AB的方程为由题意知
由{ 得A点的坐标为
由{ 得B点的坐标为
由得P点的坐标为
将P点坐标代入
设Q为直线AB与y轴的交点,则Q点的坐标为(0,m).
=
以下同解答一.
22.(本小题满分12分)
已知数列满足, .
猜想数列的单调性,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:。
22题
证(1)由
由猜想:数列是递减数列
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,已证命题成立 (2)假设当n=k时命题成立,即
易知,那么
=
即
也就是说,当n=k+1时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立
(2)当n=1时,,结论成立
当时,易知