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2009年高考数学真题(理科)(陕西自主命题).doc
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2009 年高 数学 理科 陕西 自主 命题
2009年陕西高考理科数学真题及答案 第Ⅰ卷 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.设不等式的解集为M,函数的定义域为N,则为 (A)[0,1) (B)(0,1) (C)[0,1] (D)(-1,0] 答案:A 解析:不等式的解集是,而函数的定义域为,所以的交集是[0,1),故选择A 2.已知z是纯虚数,是实数,那么z等于 (A)2i (B)i (C)-i (D)-2i 答案:D 解析:代入法最简单 3.函数的反函数为 (A) (B) (C) (D) 答案:B 4.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为 (A) (B)2 (C) (D)2 答案:D 5.若,则的值为 (A) (B) (C) (D) 答案:A 6.若,则的值为 (A)2 (B)0 (C) (D) 答案:C 解析:则都能表示出来,则等于,再利用倒序相加法求得。 7.“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 答案:C 解析:说明 8.在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于 (A) (B) (C) (D) 答案:A 9.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为 (A)300 (B)216 (C) 180 (D)162 答案:C 解析:分类讨论思想: 第一类:从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为 第二类:取0,此时2和4只能取一个,0还有可能排在首位,组成没有重复数字的四位数的个数为 共有,180个数 10.若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 (A) (B) (C) (D) 答案:B 解析:正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥,该棱锥的高时正方体高的一半,底面面积是正方体一个面面积的一半, 11.若x,y满足约束条件,目标函数仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是 (A) (,2 ) (B) (,2 ) (C) (D) 答案:B 解析:根据图像判断,目标函数需要和,平行, 由图像知函数a的取值范围是(,2 ) 12.定义在R上的偶函数满足:对任意 的,有. 则当时,有 (A) (B) (C) (C) (D) 答案:C 第Ⅱ卷 二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题4分,共16分). 13.设等差数列的前n项和为,若,则 . 答案:1 14.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有 人。 A B O1 O 答案:8 15.如图球O的半径为2,圆是一小圆,,A、B 是圆上两点,若A,B两点间的球面距离为,则= . 答案: 16.设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,令,则的值为 . 答案:-2 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共74分) 17.(本小题满分12分) 已知函数(其中)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为. (Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)当,求的值域. 17、解(1)由最低点为得A=2. 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=,即, 由点在图像上的 故 又 (2) 当=,即时,取得最大值2;当 即时,取得最小值-1,故的值域为[-1,2] 18.(本小题满分12分) C B A C1 B1 A1 如图,在直三棱柱中, AB=1,,∠ABC=60. (Ⅰ)证明:; (Ⅱ)求二面角A——B的大小。 18.(本小题满分12分) 解答一(1)证: 三棱柱为直三棱柱, 在中,,由正弦定理 ,又 (2)解如图,作交于点D点,连结BD, 由三垂线定理知 为二面角的平面角 在 解答二(1)证三棱柱为直三棱柱, ,, 由正弦定理 如图,建立空间直角坐标系, 则 (2) 解,如图可取为平面的法向量 设平面的法向量为, 则 不妨取 19.(本小题满分12分) 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示,椐统计,随机变量的概率分布如下: 0 1 2 3 p 0.1 0.3 2a a (Ⅰ)求a的值和的数学期望; (Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。 19题,解(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1,解答a=0.2 的概率分布为 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 (2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件表示“两个月内有一个月被投诉2次,另外一个月被投诉0次”;事件表示“两个月内每月均被投诉12次” 则由事件的独立性得 故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17 20.(本小题满分12分) 已知函数,其中 若在x=1处取得极值,求a的值; 求的单调区间; (Ⅲ)若的最小值为1,求a的取值范围。 20. 解(Ⅰ) ∵在x=1处取得极值,∴解得 (Ⅱ) ∵ ∴ ①当时,在区间∴的单调增区间为 ②当时, 由 ∴ (Ⅲ)当时,由(Ⅱ)①知, 当时,由(Ⅱ)②知,在处取得最小值 综上可知,若得最小值为1,则a的取值范围是 21.(本小题满分12分) 已知双曲线C的方程为,离心率,顶点到渐近线的距离为。 (I)求双曲线C的方程; (II)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,若,求面积的取值范围。 21.(本小题满分14分) 已知双曲线C的方程为 离心率顶点到渐近线的距离为 (Ⅰ)求双曲线C的方程; (Ⅱ)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一,二象限.若求△AOB面积的取值范围. 解答一(Ⅰ)由题意知,双曲线C的顶点到渐近线 ∴ 由 得 ∴双曲线C的方程为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线C的两条渐近线方程为 设 由得P点的坐标为 将P点坐标代入化简得 设∠AOB 又 记 由 当时,△AOB的面积取得最小值2,当时,△AOB的面积取得最大值 ∴△AOB面积的取值范围是 解答二(Ⅰ)同解答一 (Ⅱ)设直线AB的方程为由题意知 由{ 得A点的坐标为 由{ 得B点的坐标为 由得P点的坐标为 将P点坐标代入 设Q为直线AB与y轴的交点,则Q点的坐标为(0,m). = 以下同解答一. 22.(本小题满分12分) 已知数列满足, . 猜想数列的单调性,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:。 22题 证(1)由 由猜想:数列是递减数列 下面用数学归纳法证明: (1)当n=1时,已证命题成立 (2)假设当n=k时命题成立,即 易知,那么 = 即 也就是说,当n=k+1时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立 (2)当n=1时,,结论成立 当时,易知

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