2010年高考数学真题（理科）（陕西自主命题）.doc

2010年陕西高考理科数学真题及答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。 1.集合A=，B=，则=【D】 （A） （B） （C） （D） 解析：本题考查集合的基本运算 2.复数在复平面上对应的点位于 【A】 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：本题考查复数的运算及几何意义 ，所以点（位于第一象限 3.对于函数f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是 【B】 A.f(x)在（，）上是递增的 B. f(x)的图象关于原点对称 C. f(x)的最小正周期为 D. f(x)的最大值为2 解析：本题考查三角函数的性质 f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数 4. 展开式中的系数为10，则实数a等于【D】 A.-1 B. C.1 D.2 解析：本题考查二项展开式的通项公式 5.已知函数f(x)= 若f（f（0））=4a，则实数a等于【C】 A. B. C.2 D.9 解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2 6.右图是求样本，，…，平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A】 A.S=S+ B.S=S+ C.S=S+n D.S=S+ 7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C】 A. B. C.1 D.2 解析：本题考查立体图形三视图及体积公式 如图，该立体图形为直三棱柱 所以其体积为 8.已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为【C】 A. B. 1 C.2 D.4 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以 法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0） 所以 9.对于数列，“”是“为递增数列”的【B】 A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由知所有项均为正项， 且，即为递增数列 反之，为递增数列，不一定有，如-2，-1,0,1,2，…. 10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 【B】 A. B. C. D. 解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B 法二：设， ，所以选B 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11.已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则m=-1 解析：，所以m=-1 12.观察下列等式：，，，…，根据上述规律，第五个等式为。 解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方 所以第五个等式为。 13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分部分的概率为 解析：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为，所以点M取自阴影部分部分的概率为 14.铁矿石A和B的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表： a B(万吨) C（百万元） A 50％ 1 3 B 70％ 0.5 6 某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为15（万元） 解析：设购买铁矿石A和B各x，y万吨，则购买铁矿石的费用 x,y满足约束条件 表示平面区域为 则当直线过点B（1,2）时，购买铁矿石的最少费用 z=15 15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A．（不等式选做题）不等式的解集为 解析：法一：分段讨论 综上，原不等式解集为 法二：利用绝对值的几何意义放在数轴上研究 法三：借助函数的图像研究 B. (几何证明选做题)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则 解析：,由直角三角形射影定理可得 C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为（a为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则直线l与圆C的交点的直角坐标系为__(-1,1).(1,1)_____ 解析：直线l的极坐标方程为化为普通方程为y=1， 所以直线l与圆的交点坐标为(-1,1).(1,1) 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16.（本小题满分12分） 已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列 （1） 求数列的通项公式 （2） 求数列的前n项和 解： （1）由题设知公差d≠0 由且成等比数列得 解得d=1,d=0（舍去） 故的通项 （2）由（1）知，由等比数列前n项和公式得 17. （本小题满分12分 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ 解：由题意知海里， 在中，由正弦定理得 =（海里）， 又海里， 在中，由余弦定理得 = 30（海里），则需要的时间（小时）。 答：救援船到达D点需要1小时。 注：如果认定为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD，同样给分。 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2,BC=,E,F分别是AD,PC的中点。 （Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF； （Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。 解法一： （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。 ∵ ，四边形ABCD是矩形 ∴ A,B,C,D,P的坐标为 又E,F分别是AD,PC的中点， ∴ ∴ , ∴ ∴ ∴ ∴ 平面 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知平面BEF的法向量, 平面BAP的法向量， ∴ =8 设平面BEF与平面BAP的家教为θ， 则， ∴ ，∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为 解法二： （Ⅰ）连接PE,EC，在和中， PA=AB=CD,AE=DE, ∴ PE=CE,即是等腰三角形， 又F是PC的中点，∴EF⊥PC， 又是PC的中点， ∴ 又 （Ⅱ）∵ PA⊥平面ABCD, ∴ PA⊥BC, 又ABCD是矩形，∴ AB⊥BC, ∴ BC⊥平面BAP，BC⊥PB, 又由（Ⅰ）知PC⊥平面BEF, ∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角， 在中，PB=BC, , 所以平面BEF与平面BAP的夹角为 19. （本小题满分12分） 为了解学生升高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下： （Ⅰ）估计该校男生的人数； （Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率； （Ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~18cm之间的概率。 解： （Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人。 （Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~180cm之间的概率p=0.5 （Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间的人数为4， 设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170~180cm之间”， 则（或） 20. （本小题满分13分） 如图，椭圆的顶点为，焦点为 ， （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设n是过原点的直线，是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于A,B亮点的直线，||=1，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。 解： （Ⅰ） 由知， ① 由知a=2c， ② 又 ， ③ 由①②③解得， 故椭圆C的方程为 （Ⅱ） 设A，B两点的坐标分别为， 假设使成立的直线存在， （ⅰ）当不垂直于x轴时，设的方程为， 由与垂直相交于P点且||=1得 ，即 ∵，||=1， ∴ = = 1+0+0-1=0, 即 将代入椭圆方程，得 由求根公式可得， ④ ⑤ = = 将④，⑤代入上式并化简得 ⑥ 将代入⑥并化简得，矛盾 即此时直线不存在 （ⅱ）当垂直于x轴时，满足的直线的方程为x=1或x=-1， 当X=1时，A,B,P的坐标分别为， ∴， ∴ 当x=-1时，同理可得，矛盾 即此时直线也不存在 综上可知，使成立的直线不存在 21. （本小题满分14分） 已知函数 （Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程； （Ⅱ）设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式； （Ⅲ）对（Ⅱ）中的和任意的，证明： 解： （Ⅰ）， 由已知得 解得， ∴ 两条直线交点的坐标为，切线的斜率为， ∴ 切线的方程为 （Ⅱ）由条件知 ∴ （ⅰ）当a>0时，令，解得， ∴ 当时，在上递减； 当时，在上递增 ∴是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点 ∴最小值 （ⅱ）当时，在上递增，无最小值， 故的最小值的解析式为 （Ⅲ）由（Ⅱ）知 对任意的 ① ② ③ 故由①②③得