2006年高考数学真题（理科）（陕西自主命题）.doc

2006年陕西高考理科数学真题及答案 注意事项： 1．本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。 2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。 3．所有答案必须在答题卡指定区域内作答，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 选择题（共60分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题， 每小题5分，共60分）。 1．已知集合等于 （A）{1，2，3} （B）{2，3} （C）{1，2} （D）{2} 2．复数等于 （A）1+ （B）―1― （C）1― （D）―1+ 3．等于 （A）0 （B） （C） （D）1 4．设函数的图像过点（2，1），其反函数的图像过点（2，8），则a+b等于 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 5．设直线过点（0，a）其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为 （A）±4 （B） （C）±2 （D） 6．“α、β、成等差数列”的“等式sin(α+ )=sin2β成立”的是 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件 7．已知双曲线的两条渐近线的夹角为则双曲线的离心率为 （A） （B） （C） （D）2 8．已知不等式对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为 （A）8 （B）6 （C）4 （D）2 9．已知非零向量满足 （）·=0 且 ·=. 则△ABC为 （A）等边三角形 （B）直角三角形 （C）等腰非等边三角形 （D）三边均不相等的三角形 10．已知函数. 若，=1－a，则 （A） （B） （C） （D）的大小不能确定 11．已知平面外不共线的三点A，B，C到的距离都相等，则正确的结论是 （A）平面ABC必平行于 （B）平面ABC必不垂直于 （C）平面ABC必与相交 （D）存在△ABC的一条中位线平行于或在内 12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明 文（解密）. 已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d. 例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16. 当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为 （A）7,6,1,4 （B）6,4,1,7 （C）4,6,1,7 （D）1,6,4,7 第二部分（共90分） 二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）. 13．的值为 . 14．（）12展开式中x－1的系数为 （用数字作答）. 15．水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面的4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是 . 16．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有 种（用数学作答）. 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分） 已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求使函数取得最大值的x的集合. 18．（本小题满分12分） 甲，乙，丙3人投篮，投进的概率分别是现3人各投篮1次，求： （Ⅰ）现有3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率； （Ⅱ）用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ. 19．（本小题满分12分） 如图，，点A在直线l 上的射影为A1，点B在l上的射影为B1. 已知AB=2， AA1=1，BB1=，求： （Ⅰ）直线AB分别与平面所成角的大小； （Ⅱ）二面角A1—AB—B1的大小. 20．（本小题满分12分） 已知正项数列，其前n项和Sn满足，且成等比数列，求数列的通项 21．（本小题满分12分） 如图，三定点A（2，1），B（0，－1），C（－2，1）；三动点D，E，M满足，， （Ⅰ）求动直线DE斜率的变化范围； （Ⅱ）求动点M的轨迹方程. 22．（本小题满分14分） 已知函数，且存在，使。 （Ⅰ）证明：是R上的单调增函数； （Ⅱ）设， 其中n=1，2，… 证明：； （Ⅲ）证明： 2006年陕西高考理科数学真题参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）. 1.B 2.C 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.D 10.A 11.D 12.C 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）. 13. 14.594 15.3R 16. 600 三、解答题：（本大题共6小题，共74分）. 17．解：（I） （II） 18．解：（I）记“甲投篮1次投进”为事件A1，“乙投蓝1次投进”为事件A2，“丙投篮1次投进”为事件A3，“3人都没有投进”为事件A.则 ∴3人都没有投进的概率为. （II）解法一： 随机变量ξ的可能值有0，1，2，3.则Eξ=np=3×=. 解法二：ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P Eξ=0×+1×+2×+3×=. 19．解法一：（I）如图，连接A1B，AB1. ∵⊥，∩=l，AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA1⊥，BB1⊥a. 则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与和所成的角. Rt△BB1A中，BB1=，AB=2， ∴sin∠BAB1= ∴∠BAB1=45° Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2， ∴sin∠ABA1= ∴∠ABA1=30°. 故AB与平面，，所成的角分别是45°，30°. （II）∵BB1⊥， ∴平面ABB1⊥.在平面内过A1 作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B.过E作 EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB， ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角. 在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=. ∴Rt△AA1B1中，AA1=A1B1=1，∴ 在Rt△AA1B中，由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F= ∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=， ∴二面角A1—AB—B1的大小为arcsin . 解法二：（I）同解法一. （II）如图，建立坐标系，则A1（0，0，0）， A（0，0，1），B1（0，1，0），B（，1，0）. 在AB上取一点F（x , y, z），则存在t∈R，使得， 即(x, y, z－1)=t(,1,－1), ∴点F的坐标为(t, t, 1－t). 要使 即(t, t, 1－t)·(,1,－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得t=, ∴点F的坐标为 设E为AB1的中点，则点E的坐标为（0，）， ∴二面角A1—AB—B1的大小为arccos. 20．解： ①解之得a1=2或a1=3. 又 ② 由①—②得 21．解：（I） 解法一：如图（1）设D(xD, yD), E(xE , yE), M(x, y). 由 （II） 即所求轨迹方程为 解法二：（I）同上. （II）如图， 设M点坐标为(x, y)，由得 故轨迹方程是 22．解：（I） ∴是R上的单调增函数. （II） 用数学归纳法证明如下：（1）当n=1时，上面已证明成立. （2）假设当n=k （k≥1）时有 当n=k+1时，由f(x)是单调增函数，有 由（1）和（2）对一切n=1，2，…，都有 （III） 由（II）知