2009年高考重庆理科数学试题及答案(精校版).doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类） 本试卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷 考生注意： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 参考公式： 如果事件互斥，那么 如果事件相互独立，那么 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率 以为半径的球体积： 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线与圆的位置关系为（ ） A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 2．已知复数的实部为，虚部为2，则=（ ） A． B． C． D． 3．的展开式中的系数是（ ） A．16 B．70 C．560 D．1120 4．已知，则向量与向量的夹角是（ ） A． B． C． D． 5．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ） A． B． C． D． 7．设的三个内角，向量，，若，则=（ ） A． B． C． D． 8．已知，其中，则的值为（ ） A．6 B． C． D． 9．已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上． 11．若，，则 ． 12．若是奇函数，则 ． 13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）． 14．设，，，，则数列的通项公式= ． 15．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．） 设函数． （Ⅰ）求的最小正周期． （Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值． 17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分） 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： （Ⅰ）两种大树各成活1株的概率； （Ⅱ）成活的株数的分布列与期望． 18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分） 设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若函数，讨论的单调性． 19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分） 如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求： （Ⅰ）点到平面的距离； （Ⅱ）二面角的大小 20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分） 已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点． （Ⅰ）若的坐标分别是，求的最大值； （Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程； 21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分） 设个不全相等的正数依次围成一个圆圈． （Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项； （Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：； 2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题（理工农医类）答案 一、 选择题：每小题5分，满分50分 . (1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C (7) C (8) D (9) B (10) B. 二．填空题：每小题5分，满分25分 . (11) (0,3) (12) (13) 36 (14) (15) (1, ) 三．解答题：满分75分 . (16)（本小题13分） 解：（Ⅰ）= = = 故的最小正周期为T = =8 (Ⅱ）在的图象上任取一点，它关于的对称点 . 　　由题设条件，点在的图象上，从而 　　　　　　　　　 = = 当时，，因此在区间上的最大值为 　　　 　 . (17)（本小题13分） 解：设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2 　　表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2 　　则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 , . 据此算得 　　 , , . , , . (Ⅰ) 所求概率为 　　　　　. (Ⅱ) 的所有可能值为0，1，2，3，4，且 , , = , . . 综上知有分布列 0 1 2 3 4 P 1/36 1/6 13/36 1/3 1/9 从而，的期望为 （株） 18、（本小题13分） 解（Ⅰ）因 又在x=0处取得极限值，故从而 由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知 该切线斜率为2，即 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令 （1）当 （2）当 K=1时，g（x）在R上为增函数 （3）方程有两个不相等实根 当函数 当时，故上为减函数 时，故上为增函数 （19）（本小题12分） 解法一： （Ⅰ）因为AD//BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。 因为平面故,从而，由AD//BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中 (Ⅱ)如答（19）图1，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故. 由于E为BS边中点，故,在中， ,因，又 故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得 因此而在中， 在中，可得，故所求二面角的大小为 解法二： （Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面 即点A在xoz平面上，因此 又 因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面 yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为. (Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点. ΔBCS为直角三角形 , 知 设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） . 在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD . 由故 ①　 又点G在直线CD上，即，由=（），则有　② 联立①、②，解得G＝　, 故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 . 因为=，,所以 故所求的二面角的大小为 . (20)（本小题12分） 　　解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a ＞b＞ 0 ）. 设，由准线方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，椭圆方程为 . 又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以, 从而，当且仅当，即点M的坐标为　时上式取等号，的最大值为4　. （II）如图（20）图，设 .因为，故 ① 因为 所以 . ② 记P点的坐标为，因为P是BQ的中点 所以 由因为 ，结合①，②得 故动点P的估计方程为 （21）（本小题12分） 解：（I）因是公比为d的等比数列，从而 由 ，故 解得或（舍去）。因此 又 。解得 从而当时， 当时，由是公比为d的等比数列得 因此 （II）由题意得 有①得 ④ 由①，②，③得， 故. ⑤ 又，故有 .⑥ 下面反证法证明： 若不然，设 若取即，则由⑥得，而由③得 得由②得而 ④及⑥可推得（）与题设矛盾 同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数 由均值不等式得 由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而 又，由④和⑥得 因此由⑤得