2010年高考数学真题（文科）（湖南自主命题）.doc

2010年湖南高考文科数学真题及答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数等于 ( ) A． B. C. -1+i D. -1-i 2. 下列命题中的假命题是 ( ) A． B. C. D. 3．某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是 ( ) A． B. C. D.. 4．极坐标方程和参数方程 （t为参数）所表示的图形分别是 ( ) A．直线、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．圆、直线 5．设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( ) A． 4 B. 6 C. 8 D. 12 6．若非零向量、满足，，则与的夹角为 ( ) A．300 B. 600 C. 1200 D. 1500 7．在中，角的所对的边长分别为，若，则 ( ) A．a>b B. a<b C. a=b D. a与b 的大小关系不能确定. C D 8. 函数与在同一直角坐标系中的图象可能是 ( ) 二 填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 9 .已知集合A={1,2,3},B={2, m，4}，A∩B={2,3}，则m= . 10.已知一种材料的最佳入量在100g到200g之间.若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 g. 11.在区间[-1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为 12 . 图1是求实数x的绝对值的算法程序框图，则判断框可填 13.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则 ． 开始 ① 是 否 输出-x 结束 输入x 输出x 图1 正视图 侧视图 俯视图 图2 单位：cm h 5 6 14. 若不同两点P，Q的坐标分别为(a,b) ，(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线l的斜率为_________,圆关于直线l对称的圆的方程为_________________________. 15. 若规定的子集为E的第k个子集，其中，则 （1）是E的第_______个子集; (2) E的第211个子集是________________. 三 解答题：每小题共6小题，共75分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （II）求函数的最大值及取最大值时x的集合。 高校 相关人数 抽取人数 A 18 x B 36 2 C 54 y 17.（本小题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样的方法从三所高校A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人） （I）求x,y； （II）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率. 18.（本小题满分12分） 如图3所示，在长方体ABCD-中，AB=AD＝１, AA1=２, M是棱C的中点. （Ⅰ）求异面直线Ｍ和所成的角的正切值; （Ⅱ）证明：平面ABM平面A1B1M. 图3 19．（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形，以过A,B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）.考察范围为到A,B两点的距离之和不超过10km的区域。 （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程； （Ⅱ）如图4所示，设线段P1P2是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上? 20 （本小题满分13分） 给出下面的数表序列： 表1 表2 表3 … 1 1 3 1 3 5 4 4 8 12 其中表n(n=1,2,3, …)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n-1，从第二行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和. （Ⅰ）写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）； （Ⅱ）某个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，…，记此数列为{bn}，求和： . 21.（本小题满分13分）已知函数, 其中且 （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）设函数 （e是自然对数的底数），是否存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由. 2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（文史类）参考答案 一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A D B C A D 二、 9. 3 10. 161.8或138.2 11. 12.x>0或x>0? 或x≥0 或x≥0？ 13. 4 14. -1 , x2+(y-1)2=1 15. 5； 三、16．解（Ⅰ） 因为 所以函数的最小正周期 （II）由（Ⅰ）知，当，即时，取最大值. 因此函数取最大值时x的集合为 17解: （I）由题意可得 ，所以x=1,y=3 （II）记从高校B抽取的2人为b1,b2, 从高校C抽取的3人为c1,c2,c3,则从高校B、C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有： （b1,b2）,（b1,c1）, (b1,c2）, （b1,c3）, （b2,c1）, （b2,c2）, （b2,c3）,( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共10种. 设选中的2人都来自高校C的事件为X,则X包含的基本事件有( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共3种. 因此 . 故选中的2人都来自高校C的概率为 18.解 Ⅰ）如图，因为，所以异面 直线Ｍ和所成的角，因为平面， 所以，而=1，， 故. 即异面直线Ｍ和所成的角的正切值为 （Ⅱ）由平面，BM平面，得 BM ① 由（Ⅰ）知，， ，，所以， 从而BMB1M ② 又, 再由① ②得BM平面A1B1M，而BM平面ABM， 因此平面ABM平面A1B1M. 19. 解（Ⅰ）设边界曲线上点的坐标为P（x,y），则由|PA|+|PB|=10知， 点P在以A、B为焦点，长轴长为2a=10的椭圆上，此时短半轴 长.所以考察区域边界曲线（如图）的方程 为 （Ⅱ）易知过点P1、P2的直线方程为4x-3y+47=0， 因此点A到直线P1P2的距离为 ， 设经过n年，点A恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得 ，解得 n=5. 即经过5年，点A恰好在冰川边界线上. 20. 解：（Ⅰ）表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别为4,8,16,32. 它们构成首项为4，公比为2的等比数列. 将结这一论推广到表n（n≥3），即 表n各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列. （Ⅱ）表n第1行是1,3,5，…，2n-1，其平均数是 由（Ⅰ）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列（从而它的第k行中的数的平均数是），于是表n中最后一行的唯一一个数为.因此 (k=1,2,3, …,n)，故 21. （Ⅰ）的定义域为， （1）若-1<a<0,则当0<x<-a时，；当-a <x<1时，；当x>1时，.故分别在上单调递增，在上单调递减. （2）若a<-1,仿（1）可得分别在上单调递增，在上单调递减. （Ⅱ）存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数. 事实上，设，则 ，再设，则当g(x)在[a,-a]上单调递减时，h(x)必在[a,0]上单调递,所以，由于，因此，而，所以，此时，显然有g(x)在[a,-a]上为减函数，当且仅当在[1,-a]上为减函数，h(x)在[a,1上为减函数,且，由（Ⅰ）知，当a<-2时，在上为减函数 ① 又 ② 不难知道， 因，令，则x=a或x=-2,而 于是 （1）当a<-2时，若a <x<-2,则，若-2 <x<1,则,因而分别在上单调递增，在上单调递减； （2）当a＝-2时， ,在上单调递减. 综合（1）（2）知，当时，在上的最大值为，所以， ③ 又对，只有当a=-2时在x=-2取得，亦即只有当a=-2时在x=-2取得. 因此，当时，h(x)在[a,1上为减函数，从而由①，②，③知 综上所述，存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数，且a的取值范围为.