2017年高考重庆理科数学试题及答案(精校版).doc

2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（ ） A． B． C． D． 2.设集合，．若，则（ ） A． B． C． D． 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层 灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一 部分所得，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 5.设，满足约束条件，则的最小值是（ ） A． B． C． 1 D． 9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 则不同的安排方式共有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们 四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成 绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上 信息，则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ） A2 B． C． D． 10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 11.若是函数的极值点，则的极小值为（ ） A. B. C. D.1 12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 ． 14.函数（）的最大值是 ． 15.等差数列的前项和为，，，则 ． 16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分） 的内角的对边分别为 ,已知． (1)求 (2)若 , 面积为2,求 18.（12分） 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下： （1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率； （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： （3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01） 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 E是PD的中点 19.（12分） 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于 底面三角形BCD， （1）证明：直线 平面PAB （2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值 20. （12分） 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足. (1) 求点P的轨迹方程； (2) 设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F. 21.（12分） 已知函数且. （1）求a； （2）证明：存在唯一的极大值点，且.. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分） 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲（10分） 已知.证明： （1）； （2）。 2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷） 理科数学解析 1．D 【解析】 2．C 【解析】1是方程的解，代入方程得 ∴的解为或，∴ 3．B 【解析】设顶层灯数为，，，解得． 4．B 【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半． 5．A 【解析】目标区域如图所示，当直线取到点时，所求最小值为． 6．D 【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作． 由此把4份工作分成3份再全排得 7．D 【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话． 甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩． 8．B 【解析】，，代入循环得，时停止循环，． 9．A 【解析】取渐近线，化成一般式，圆心到直线距离为 得，，． 10．C 【解析】，，分别为，，中点，则，夹角为和夹角或其补角（异面线所成角为） 可知，， 作中点，则可知为直角三角形． ， 中， ， 则，则中， 则中， 又异面线所成角为，则余弦值为． 11．A 【解析】， 则， 则，， 令，得或， 当或时，， 当时，， 则极小值为． 12．B 【解析】几何法： 如图，（为中点）， 则， 要使最小，则，方向相反，即点在线段上， 则， 即求最大值， 又， 则， 则． 解析法： 建立如图坐标系，以中点为坐标原点， ∴，，． 设， ，，， ∴ 则其最小值为，此时，． 13． 【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中， 则 14． 【解析】 令且 则当时，取最大值1． 15． 【解析】设首项为，公差为． 则 求得，，则， 16． 【解析】则，焦点为，准线， 如图，为、中点， 故易知线段为梯形中位线， ∵，， ∴ 又由定义， 且， ∴ 17. 【解析】（1）依题得：． ∵， ∴， ∴， ∴， （2）由⑴可知． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18． 【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于” 为事件 “新养殖法的箱产量不低于”为事件 而 （2） 箱产量 箱产量 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 由计算可得的观测值为 ∵ ∴ ∴有以上的把握产量的养殖方法有关． （3）， ， ，∴中位数为． 19．【解析】 （1）令中点为，连结，，． ∵，为，中点，∴为的中位线，∴． 又∵，∴． 又∵，∴，∴． ∴四边形为平行四边形，∴． 又∵，∴ （2）以中点为原点，如图建立空间直角坐标系． 设，则，，，，， ． 在底面上的投影为，∴．∵， ∴为等腰直角三角形． ∵为直角三角形，，∴． 设，，．∴． ．∴． ∴， ，．设平面的法向量． ，∴ ，．设平面的法向量为， ． ∴． ∴二面角的余弦值为． 20． 【解析】 ⑴设，易知 又 ∴，又在椭圆上． ∴，即． ⑵设点，，， 由已知：， ， ∴， ∴． 设直线：， 因为直线与垂直． ∴ 故直线方程为， 令，得， ， ∴， ∵， ∴， 若，则，，， 直线方程为，直线方程为， 直线过点，为椭圆的左焦点． 21． 【解析】 ⑴ 因为，，所以． 令，则，， 当时，，单调递减，但，时，； 当时，令，得． 当时，，单调减；当时，，单调增． 若，则在上单调减，； 若，则在上单调增，； 若，则，． 综上，． ⑵ ，，． 令，则，． 令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以，． 因为，，，， 所以在和上，即各有一个零点． 设在和上的零点分别为，因为在上单调减， 所以当时，，单调增；当时，，单调减．因此，是的极大值点． 因为，在上单调增，所以当时，，单调减，时，单调增，因此是的极小值点． 所以，有唯一的极大值点． 由前面的证明可知，，则． 因为，所以，则 又，因为，所以． 因此，． 22． 【解析】⑴设 则． 解得，化为直角坐标系方程为 ． ⑵连接，易知为正三角形． 为定值． ∴当高最大时，面积最大， 如图，过圆心作垂线，交于点 交圆于点， 此时最大 23． 【解析】⑴由柯西不等式得： 当且仅当，即时取等号． ⑵∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 由均值不等式可得： ∴ ∴ ∴ ∴ 当且仅当时等号成立．