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2007年高考数学真题(文科)(湖南自主命题).doc
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2007 年高 数学 文科 湖南 自主 命题
2007年湖南高考文科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)题两部分,满分150分.考试用时120分钟. 参考公式: 如果事件、互斥,那么 如果事件、相互独立,那么 如果事件在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中恰好发生次的概率是 球的体积公式 ,球的表面积公式,其中表示球的半径 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.不等式的解集是   A.     B.     C.    D. 2.若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是   A.      B.   C.   D. 3. 设,有实根,则是的   A.充分不必要条件      B. 必要不充分条件      C. 充分必要条件     D. 既不充分也不必要条件 4.在等比数列中,若,则该数列的前10项和为 A.     B.      C.     D. 5.在的二项展开式中,若只有的系数最大,则   A.8      B. 9   C. 10      D.11 6.如图1,在正四棱柱 中,E、F 分别是的中点,则以下结论中不成立的是 A. B. C.    D. 图1 7.根据某水文观测点的历史统计数据,得到某条河流水位的频率分布直方图(如图2),从图中可以看出,该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是 A.48米   B. 49米     C. 50米     D. 51米 8.函数 的图象和函数的图象的交点个数是 A.1    B.2      C.3    D. 4 9.设分别是椭圆的左、右焦点,P是其右准线上纵坐标为(为半焦距)的点,且,则椭圆的离心率是 A.   B.    C.     D. 10. 设集合,的含两个元素的子集,且满 足:对任意的,都有.则的最大值是 A.10      B.11 C. 12 D. 13 二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在横线上. 11. 圆心为且与直线相切的圆的方程是       . 12. 在中,角A、B、C所对的边分别为,若,则 A=     . 13. 若     . 14. 设集合, (1)的取值范围是      . (2)若且的最大值为9,则的值是 . 15.棱长为1的正方形的8个顶点都在球O的表面上,则球O的表面积是 ;设分别是该正方形的棱的中点,则直线被球O截得的线段长为 . 三.解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函数.求: (Ⅰ)函数的最小正周期; (Ⅱ)函数的单调增区间. 17.(本小题满分12分) 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (Ⅱ)任选3名下岗人员,求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 18.(本小题满分14分) 如图3,已知直二面角,,,,,,直线CA和平面所成的角为. (Ⅰ)证明; (Ⅱ)求二面角的大小. 19.(本小题满分13分) 已知双曲线的右焦点为F,过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点,点C的坐标是(1,0). (I)证明为常数; (Ⅱ)若动点(其中为坐标原点), 求点的轨迹方程. 20.(本小题满分13分) 设是数列的前项和,,且,,。 (Ⅰ)证明数列是常数数列; (Ⅱ)试找出一个奇数,使以18为首项,7为公比的等比数列中的所有项都是数列中的项,并指出是数列中的第几项. 21.(本小题满分13分) 已知函数在区间内各有一个极值点. (Ⅰ)求的最大值;  (Ⅱ)当时,设函数在点处的切线为,若在点A处穿过的图象(即动点在点A附近沿曲线运动,经过点A时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式. 参考答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分. 1.D 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.B 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分24分. 11. 12. 13.3 14.(1) (2) 15., 三、解答题 16.解: (Ⅰ) 函数的最小正周期是 (Ⅱ)当,即()时, 函数是增函数, 故函数的单调增区间是() 17. (Ⅰ)解法一 任选1名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是 所以该人参加过培训的概率是 解法二 任选1名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率是 该人参加过两项培训的概率是 所以该人参加过培训的概率是 (Ⅱ) 解法一 任选3名下岗人员,这3人中只有2人参加过培训的概率是 3人都参加过培训的概率是 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是 解法二 任选3名下岗人员,这3人中只有1人参加过培训的概率是 3人都没有参加过培训的概率是 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是 18. (Ⅰ)证明:在平面内过点C作CO⊥PQ于点O,连结OB, 因为,,所以 又因为CA=CB,所以OA=OB, 而, 所以,, 从而BO⊥PQ,又CO⊥PQ, 所以PQ⊥平面OBC, 因为平面OBC,故 (Ⅱ)解:解法一 由(Ⅰ)知,BO⊥PQ,又,,,所以 过点O作OH⊥AC于点H,连结BH,由三垂线定理知:BH⊥AC, 故是二面角的平面角。 由(Ⅰ)知,,所以是CA和平面所成的角,即 不妨设AC=2,则, 在中,,所以 于是在中, 故二面角的大小为 解法二 由(Ⅰ)知:,,, 故可以O为原点,分别以直线OB、OA、OC为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系(如图)。 因为,所以是CA和平面所成的角,即, 不妨设AC=2,则, 在中,, 所以 则相关各点的坐标分别是,,, 所以, 设是平面ABC的一个法向量,由得: 取,得。易知是平面的一个法向量 设二面角的平面角为,由图可知, 所以 故二面角的大小为 19. 解:由条件知,设, (I)当AB与轴垂直时,可设点A、B的坐标分别为、, 此时 当AB不与轴垂直时,设直线AB的方程是 代入,有 则,是上述方程的两实根,所以, 于是 综上所述,为常数 (Ⅱ)解法一 设,则,,, ,由得: ,即 于是AB的中点坐标为 当AB不与轴垂直时,,即 又因为A、B两点在双曲线上,所以,两式相减得 ,即 将代入上式,化简得 当AB与轴垂直时,,求得,也满足上述方程 所以点的轨迹方程是: 解法二 同解法一得 ① 当AB不与轴垂直时,由(I)有 ② ③ 由①②③得:, ④ ⑤ 当时,,由④、⑤得:,将其代入⑤有 ,整理得: 当时,点M的坐标为,满足上述方程 当AB与轴垂直时,,求得,也满足上述方程 故点的轨迹方程是: 20. 解:(Ⅰ)当时,由已知得 , ① 于是 ② 由②—①得: ③ 于是 ④ 由④—③得: ⑤ 即数列是常数数列。 (Ⅱ)由①有,所以 由③有,所以 而⑤表明:数列和分别是以、为首项,6为公差的等差数列, 所以,, 由题设知, 当为奇数时,为奇数,而为偶数,所以不是数列中的项,只可能是中的项。 若是数列中的第项,由得, 取得:,此时,由得, ,从而是数列中的第项。 (注:考生取满足,的任一奇数,说明是数列中的第项即可) 21. 解:(Ⅰ)因为函数在区间内分别有一个极值点, 所以在区间内分别有一个实根。 设两实根为,(<),则,且 于是,, 且当,,即,时等号成立。 故的最大值是16 (Ⅱ)解法一 由知在点处的切线的方程是 ,即 因为切线在点A处穿过的图象 所以在两边附近的函数值异号, 则不是的极值点。 而, 且 若,则和都是的极值点, 所以,即,又由得 故 解法二 同解法一得 因为切线在点A处穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号, 于是存在,(), 当时,,当时, 或当时,,当时, 设,则 当时,,当时, 或当时,,当时, 由知是的极值点,则, 所以,又由得, 故

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