2008年高考数学真题（理科）（湖南自主命题）.doc

2008年湖南高考理科数学真题及答案 一、 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数等于 A.8 B.－8 C.8i D.－8i (D) 2．“|x－1|＜2成立”是“x（x－3）＜0成立”的 A．充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 （B） 3.已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是 A.2 B.5 C.6 D.8 (C) 4.设随机变量服从正态分布N(2,9) ,若P (＞c+1)=P(＜c－,则c= A.1 B.2 C.3 D.4 (B) 5.设有直线m、n和平面、。下列四个命题中，正确的是 A.若m∥,n∥,则m∥n B.若m,n,m∥,n∥,则∥ C.若，m,则m D.若，m，m,则m∥ （D） 6.函数f(x)=sin2x+在区间上的最大值是 A.1 B. C. D.1+ (C) 7.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且 则与 A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 (A) 8.若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+) (B) 9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2, AD=, AA1=1, 则顶点A、B间的球面距离是 A. 2 B. C. D. (C) 10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［］=1），对于给定的nN*,定义，x,则当x时，函数的值域是 A. B. C. D. (D) 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。 11.. 12.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，右准线为l，离心率e=过顶点A(0,b)作AMl,垂足为M，则直线FM的斜率等于. 13.设函数y=f (x)存在反函数y= f－1（x），且函数y = x－f (x)的图象过点（1，2），则函数 y=f－1(x)－x的图象一定过点 (－1,2) . 14.已知函数f(x)＝ （1）若a＞0,则f(x)的定义域是; (2)若f(x)在区间上是减函数，则实数a的取值范围是. 15. 对有n (n≥4)个元素的总体｛1，2，3，…，n｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1，2，…，m｝和｛m+1，m+2，…，n｝(m是给定的正整数，且2≤m≤n－2)，再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P1n=；所有Pif(1≤i＜j≤的和等于 6 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约。乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求： （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望. 解 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格。由题意知A，B，C相互独立，且 P（A）＝P（B）＝P（C）＝. （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是 （Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3. ＝ ＝ = = 所以， 的分布列是 0 1 2 3 P 的期望 17.（本小题满分12分） 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB; （Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小. 解 解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形。因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB。又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE。而AB=A，因此BE⊥平面PAB. 又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB. （Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF。过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE. 在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以AF=2AB=2=AP. 在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG. 则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得， PF⊥HG. 所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）. 在等腰Rt△PAF中， 在Rt△PAB中， 所以，在Rt△AHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是 解法二 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系。则相关各点的坐标分别是 A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），E(1,,0) （Ⅰ）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE⊥平面PAB. 又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB. (Ⅱ)易知 设是平面PBE的一个法向量，则由得 所以 设是平面PAD的一个法向量，则由得 所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是 18.（本小题满分12分） 数列 (Ⅰ)求并求数列的通项公式； (Ⅱ)设证明：当 解 (Ⅰ)因为 一般地，当时， ＝，即 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此 当时， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此 故数列的通项公式为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知， ① ② ①－②得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n = k+1时， 由(1)、(2)所述，当n≥6时，，即当n≥6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时， 于是当时， 综上所述，当时， 19.（本小题满分13分） 在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.。点E正北55海里处有一个雷达观测站A。.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; （II）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解 （I）如图，AB=40，AC=10， 由于<<，所以cos= 由余弦定理得BC= 所以船的行驶速度为（海里/小时）. （II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是 B（x1，y1）, C（x2，y2），BC与x轴的交点为D. 由题设有，x1=y1=AB=40， , 所以过点B、C的直线l的斜率k=, 直线l的方程为y=2x－40. 又点E（0，－55）到直线l的距离d= 所以船会进入警戒水域. 解法二 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得， ===. 从而 在△ABQ中，由正弦定理得， AQ= 由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE－AQ=15. 过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离. 在Rt△中， PE=QE·sin = 所以船会进入警戒水域. 20.（本小题满分13分） 若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2. （Ⅰ）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； （Ⅱ）试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由. 解（Ⅰ）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是 （x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1, y22=4x2, 两式相减得（y1+y2）（y1－y2）=4（x1－x2）.因为x1x2,所以y1+y20. 设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则 k=. 从而AB的垂直平分线l的方程为 又点P（x0,0）在直线l上，所以－ym= 而于是 故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0－2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中， 整理得 （·） 则是方程（·）的两个实根，且 设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则 因为0<<4xm=4(x0－2) =4x0－8,于是设t=,则t(0,4x0－8). 记l2=g(t)=－[t－2(x0－3)]2+4(x0－1)2. 若x0>3,则2(x0－3) (0, 4x0－8),所以当t=2(x0－3),即=2(x0－3)时, l有最大值2(x0－1). 若2<x0<3,则2(x0－3)0,g(t)在区间（0，4x0－8）上是减函数，所以 0<l2<16(x0－2), l不存在最大值. 综上所述，当x0>3时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0－1）；当2< x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值. 21.（本小题满分13分） 已知函数f(x)=ln2(1+x)－. （Ⅰ）求函数f(x) 的单调区间; （Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）. 求的最大值. 解 （Ⅰ）函数f(x)的定义域是， 设则 令则 当时， 在（－1，0）上为增函数， 当x＞0时，在上为减函数. 所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数. 于是当时， 当x＞0时， 所以，当时，在（－1，0）上为增函数. 当x＞0时，在上为减函数. 故函数f(x)的单调递增区间为（－1，0），单调递减区间为. （Ⅱ）不等式等价于不等式由知， 设则 由（Ⅰ）知，即 所以于是G(x)在上为减函数. 故函数G（x）在上的最小值为 所以a的最大值为