2014年高考数学真题（理科）（湖南自主命题）.doc

2014年湖南高考理科数学真题及答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、满足（i的虚数单位）的复数z= A、 B、 C、 D、 2、对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为、、，则 A、 B、 C、 D、 3、已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）= ，则 A、 B、 C、1 D、3 4、的展开式中的系数是 A、-20 B、-5 C、5 D、20 5、已知命题p：若x>y，则-x<-y ：命题q：若x>y，在命题 ① ② ③ ④ 中，真命题是 A、①③ B、①④ C、②③ D、②④ 6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的S属于 A、[-6,-2] B、[-5,-1] C、[-4，5] D、[-3,6] 7、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于 A、1 B、2 C、3 D、4 8、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为 A、 B、 C、 D、 9、已知函数发，且，则函数的图象的一条对称轴是 A、 B、x= C、x= D、x= 10、已知函数与的图象在存在关于y轴对称点，则a的取值范围是 A、 B、 C、 D、 二、填空题，本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分 （一）选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线 与曲线 （a为参数）交于A，B两点，且 .以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是_________。 12. 如图3，已知，是的两条弦，,, ，则的半径等于________。 13．若关于x的不等式 的解集为 ，则 a=________. (二)必做题(14-16题) 14. 若变量满足约束条件 且 的最小值为-6，则_______。 15. 如图4正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b), 原点O为AD的中点，抛物线 经过C、F两点，则_________。 16．在平面直角坐标系中，O为原点 C(3 0)动点D满足 ，则 的最大值是__________。 三、解答题：本大题共6小题．共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 .(本小题满分l2分) 某企事业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立。 (Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率； (Ⅱ)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望 18．（本小题满分l2分） 如图5，在平面四边形中， （Ⅰ）求的值 （Ⅱ）若，求BC的长 19. （本小题满分l2分） 如图6，四棱柱的所有棱长都相等，，四边形和四边形均为矩形。 （Ⅰ）证明：底面ABCD； （Ⅱ）若，求二面角的余弦值。 20. （本小题满分13分） 已知数列满足 （Ⅰ）若是递增数列，且成等差数列，求p的值； （Ⅱ）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式。 21、如图7，为坐标原点，椭圆:（a>b>0）的左、右焦点分别为，，离心率为：双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为。已知=，且。 （Ⅰ）求、的的方程； （Ⅱ）过做的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值 22、已知常数a>0，函数。 （Ⅰ）讨论f（x）在区间上的单调性； （Ⅱ）若f（x）存在两个极值点、，且f（）+f（）>0，求a的取值范围 参考答案 1-5 BDCAC 6-10 DBDAB 11. 12. 13.-3 14.-2 15. 16. 17. 解： （1）设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为一种新产品都没有成功，因为甲、乙成功的概率分别为，则，再根据对立事件概率之间的公式可得，所以至少一种产品研发成功的概率为 （2）由题可得，设该企业可获得利润为，则的取值有0，120+0，100+0，120+100，即=0，120，100，220 由独立试验的概率计算公式可得： 所以的分布列如下： 0 100 120 220 则数学期望. 18.解： （1）在中，由余弦定理可得 （2）设，则 因为， 所以 于是 在中，由正弦定理，得 故 19. （1）证明：因为四边形为矩形，所以 又因为点是的中点，点是的中点，所以，所以 同理，在矩形中，可得 和是平面的两条相交的直线，故可得，底面 （2）方法一： 如图（a），过做于，连接 由（1）知，底面，所以底面，于是 又因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形是菱形， 因此，从而平面，所以，，于是平面 进而，故是二面角的平面角。 不妨设，因为，所以 在中，易知， 而，于是得 故 即二面角的余弦值为 方法二： 因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形是菱形，因此，又底面，从而两两垂直。 如图（b），以为坐标原点，坐在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系。 设，因为，所以， 于是相关各点的坐标为， 易知是平面的一个法向量 设是平面的一个法向量，则 取，则，所以， 设二面角的大小为，易知是锐角，于是 故二面角的余弦值为 20.解： （1）因为数列是递增数列，所以 而，令，得到 又因为是等差数列，所以 因而 解得或 当时，，这与是递增数列矛盾，故舍去， 所以 （2）由于是递增数列，因而， 于是 ① 因为，所以 ② 由①②知， 因此 ③ 因为是递减数列，同理可得， 故 ④ 由③④可知， 于是 故数列的通项公式是 21.解： （1）因为，所以，即 因此 从而，于是 所以 故的方程分别为 （2）因为不垂直于轴，且过点，故可设直线的方程为， 由得 易知此方程的判别式大于0，设，则是上述方程的两个实根 所以 因此， 于是的中点为， 故直线的斜率为，的方程为，即 由得 所以，且 从而 设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为， 所以 因为点在直线的异侧，所以 于是， 从而 又因为 所以 故四边形的面积 而 故当时，取最小值2 综上所述，四边形面积的最小值为2 22.解： （1）对函数求导，可得 （*） 因为，所以 当时，，此时，在区间上单调递增； 当时，由得 （舍去） 当时，； 当时， 故在区间上单调递减，在上单调递增。 综上所述， 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增。 （2）由（1）可知，当时，， 此时不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有， 又的极值点只可能是， 且由的定义可知，且， 所以， 解得，此时，由（*）式易知，分别是的极小值点和极大值点。 而 令，由且知 当时，； 当时，； 记 （ⅰ）当时，， 所以 因此，在区间上单调递减 从而 故当时， （ⅱ）时， 所以 因此，在区间上单调递减， 从而， 故当时， 综上所述，满足条件的的取值范围为