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1991
年高
数学
文科
湖南
自主
命题
1991年湖南高考文科数学真题及答案
考生注意:这份试卷共三道大题(26个小题).满分120分.
一、选择题:本大题共15小题;每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内
(1) 已知sinα=,并且α是第二象限的角,那么tgα的值等于 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(2) 焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是 ( )
(A) y2=8(x+1)
(B) y2=-8(x+1)
(C) y2=8(x-1)
(D) y2=-8(x-1)
(3) 函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是 ( )
(A)
(B) π
(C) 2π
(D) 4π
(4) P(2,5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是 ( )
(A) (5,2)
(B) (2,-5)
(C) (-5,-2)
(D) (-2,-5)
(5) 如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有 ( )
(A) 12对
(B) 24对
(C) 36对
(D) 48对
(6) 函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是 ( )
(A) x=-
(B) x=-
(C) x=
(D) x=
(7) 如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的 ( )
(A) 垂心
(B) 重心
(C) 外心
(D) 内心
(8) 已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于 ( )
(A) 5
(B) 10
(C) 15
(D) 20
(9) 已知函数y=(x∈R,且x≠1),那么它的反函数为 ( )
(A) y=(x∈R,且x≠1)
(B) y=(x∈R,且x≠6)
(C) y=(x∈R,且x≠-)
(D) y=(x∈R,且x≠-5)
(10) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有 ( )
(A) 140种
(B) 84种
(C) 70种
(D)35种
(11) 设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么 ( )
(A) 丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
(B) 丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
(C) 丙是甲的充要条件
(D) 丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
(12) …(1-)]的值等于 ( )
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(13) 如果AC<0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过 ( )
(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(14) 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是 ( )
(A) 增函数且最小值为-5
(B) 增函数且最大值为-5
(C) 减函数且最小值为-5
(D) 减函数且最大值为-5
(15) 圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有 ( )
(A) 1个
(B) 2个
(C) 3个
(D) 4个
二、填空题:本大题共5小题;每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上.
(16) 双曲线以直线x=-1和y=2为对称轴,如果它的一个焦点在y轴上,那么它的另一焦点的坐标是__________________.
(17) 已知sinx=,则sin2(x-)=____________
(18) 不等式lg(x2+2x+2)<1的解集是_____________
(19) 在(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,若实数a>1,那么a=_____________
(20) 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知顶点A上三条棱长分别是、2.如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ,那么cos2α+cos2β+cos2γ=_________
三、解答题:本大题共6小题;共60分.
(21) (本小题满分8分)
求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值.
(22) (本小题满分8分)
已知复数z=1+i, 求复数的模和辐角的主值.
(23) (本小题满分10分)
如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,已知A1A⊥底面ABC,A1A= A1B1= B1C1=a,B1B⊥BC,且B1B和底面ABC所成的角45º,求这个棱台的体积.
(24) (本小题满分10分)
设{an}是等差数列,bn=()an.已知b1+b2+b3=, b1b2b3=.求等差数列的通项an.
(25) (本小题满分12分)
设a>0,a≠1,解关于x的不等式
(26) (本小题满分12分)
已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=.求椭圆的方程.
参考答案及评分标准
说明:
一.本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种较为常见的解法,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则.
二.每题都要评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分时,如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响的程度决定后面部分的给分,但不得超过后面部分应给分数的一半;如果这一步以后的解答有较严重的错误,就不给分.
三.为了阅卷方便,本试题解答中的推导步骤写得较为详细,允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤.
四.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
五.只给整数分数.
一.选择题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分,满分45分.
(1)A (2)D (3)B (4)C (5)B (6)A (7)D (8)A (9)B (10)C (11)A (12)C (13)C (14)B (15)C
二.填空题.本题考查基本知识基本运算.每小题3分,满分15分.
(16) (-2,2) (17) 2- (18) {x|-4<x<2} (19) 1+ (20) 2
三.解答题
(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质.满分8分.
解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x ——2分
=1+sin2x+(1+cos2x) ——4分
=2+sin2x+cos2x
=2+sin(2x+). ——6分
当sin(2x+)=1时,函数y有最大值,这时y的最大值等于2+. ——8分
注:没有说明“当sin(2x+)=1时,函数y有最大值”而得出正确答案,不扣分.
(22) 本小题考查复数基本概念和运算能力.满分8分.
解:=
= ——2分
=1-i. ——4分
1-i的模r==.因为1-i对应的点在第四象限且辐角的正切
tgθ=-1,所以辐角的主值θ=π. ——8分
(23)本小题考查直线与直线,直线与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.满分10分.
解:因为A1A⊥底面ABC,所以根据平面的垂线的定义有A1A⊥BC.又BC⊥BB1,且棱AA1和BB1的延长线交于一点,所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面A1ABB1,从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB.
∴ △ABC是直角三角形,∠ABC=90º.并且∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角,
∠ABB1=45º. ——3分
作B1D⊥AB交AB于D,则B1D∥A1A,故B1D⊥底面ABC.
∵ Rt△B1DB中∠DBB1=45º,
∴ DB=DB1=AA1=a,
∴AB=2a. ——6分
由于棱台的两个底面相似,故
Rt△ABC∽Rt△A1B1C1.
∵ B1C1=A1B1=a,AB=2a,
∴ BC=2a.
∴ S上=A1B1×B1C1=.
S下=AB×BC=2a2. ——8分
V棱台=·A1A·
=·a· ——10分
(24)本小题考查等差数列,等比数列的概念及运用方程(组)解决问题的能力.满分10分.
解 设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.
∴
b1b3=·==.
由 b1b2b3=,得=,
解得 b2=. ——3分
代入已知条件
整理得
解这个方程组得b1=2,b3=或b1=,b3=2 ——6分
∴ a1=-1,d=2或a1=3,d=-2. ——8分
所以,当a1=-1,d=2时
an=a1+(n-1)d=2n-3.
当a1=3,d=-2时
an=a1+(n-1)d=5-2n. ——10分
(25)本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力.满分12分.
解法一 原不等式可写成 . ① ——1分
根据指数函数性质,分为两种情形讨论:
(Ⅰ)当0<a<1时,由①式得
x4-2x2+a2<0, ② ——3分
由于0<a<1时,判别式
△=4-4a2>0,
所以②式等价于
③
④
——5分
解③式得 x<-或x>,
解④式得 -<x<. ——7分
所以,0<a<1时,原不等式的解集为
{x|-<x<-}∪{x|<x<}.
——8分
(Ⅱ) 当a>1时,由①式得
x4-2x2+a2>0, ⑤ ——9分
由于a>1,判别式△<0,故⑤式对任意实数x成立,即得原不等式的解集为
{x|-∞<x<+∞}. ——12分
综合得
当0<a<1时,原不等式的解集为
{x|-<x<-}∪{x|<x<};
当a>1时,原不等式的解集为
{x|-∞<x<+∞}.
解法二 原不等式可写成 . ① ——1分
(Ⅰ) 当0<a<1时,由①式得
x4-2x2+a2<0, ② ——3分
分解因式得 (x2-1+)(x2-1-)<0. ③
④
⑤
即
⑥⑦
或 ——5分
解由④、⑤组成的不等式组得
-<x<-.
或 <x< . ——7分
由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集;所以,0<a<1时,原不等式的解集为
{x|-<x<-}∪{x|<x<};
——8分
(Ⅱ) 当a>1时,由①式得
x4-2x2+a2>0, ⑧ ——9分
配方得 (x2-1)2+a2-1>0, ⑨
对任意实数x,不等式⑨都成立,即a>1时,原不等式的解集为
{x|-∞<x<+∞}. ——12分
综合得
当0<a<1时,原不等式的解集为
{x|-<x<-}∪{x|<x<};
当a>1时,原不等式的解集为 {x|-∞<x<+∞}.
(26) 本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力.满分12分.
解法一 设所求椭圆方程为
依题意知,点P、Q的坐标满足方程组
①
②
将②式代入①式,整理得
(a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0, ③ ——2分
设方程③的两个根分别为x1,x2,那么直线y=x+1与椭圆的交点为
P(x1,x1+1),Q(x2,x2+1). ——3分
由题设OP⊥OQ,|PQ|=,可得
整理得
④
⑤
——6分
解这个方程组,得
或
根据根与系数的关系,由③式得
(Ⅰ) 或 (Ⅱ) ——10分
解方程组(Ⅰ),(Ⅱ),得
或
故所求椭圆的方程为
, 或 ——12分
解法二 同解法一得
(a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0, ③ ——2分
解方程③得
. ④ ——4分
则直线y=x+1与椭圆的交点为
P (x1,x1+1),Q (x2,x2+1).
由题设OP⊥OQ,得