2015年高考数学真题（文科）（江西自主命题）.doc

2015年江西高考文科数学试题及答案 一、选择题：每小题5分,共60分 1、已知集合，则集合中的元素个数为（　）. （A） 5 （B）4 （C）3 （D）2 2、已知点，向量，则向量 （　）. （A） （B） （C） （D） 3、已知复数满足，则（　）. （A） （B） （C） （D） 4、如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　）. （A） （B） （C） （D） 5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则（　）. （A） （B） （C） （D） 6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（　）. （A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛 7、已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（　）. （A） （B） （C） （D） 8、函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（　）. （A） （B） （C） （D） 9、执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（　）. （A） （B） （C） （D） 10、已知函数 ，且，则（　）. （A） （B）（C）（D） 第II 卷 11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则r＝（　）. （A） （B） （C） （D） 12、设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则a＝（　）. （A） （B） （C） （D） 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分 13、数列中为的前n项和，若，则 . 14.已知函数的图像在点的处的切线过点，则 . 15. 若x,y满足约束条件 ,则z＝3x＋y的最大值为 ． 16.已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 ． 三、解答题 17. （本小题满分12分）已知分别是内角的对边，. （I）若，求 （II）若，且 求的面积. 18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，， （I）证明：平面平面； （II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积. 19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费，和年销售量的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. （I）根据散点图可以判断，与，哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（II）的结果回答下列问题： （i）当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？ 20. （本小题满分12分）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N 两点. （I）求k的取值范围； （II），其中O为坐标原点，求. 21. （本小题满分12分）设函数. （I）讨论的导函数的零点的个数； （II）证明：当时. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图AB是圆O直径，AC是圆O切线，BC交圆O与点E. （I）若D为AC中点，求证：DE是圆O切线； （II）若 ，求的大小. 23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I）求的极坐标方程. （II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积. 24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式证明选讲 已知函数 . （I）当 时求不等式 的解集； （II）若 图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围. 【答案】（I）当a＝1时，f(x)＞1化为|x＋1|－2|x－1|－1＞0. 当x≤－1时，不等式化为x－4＞0,无解； 当－1＜x＜1时，不等式化为3x－2＞0，解得 当x≥1时，不等式化为－x＋2＞0,解得1≤x＜2. 所以，f(x)＞1的解集为 （II）由题设可得， 所以，函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为 △ABC的面积为 由题设得，故a＞2. 所以，a的取值范围为（2，＋∞）. 2015年江西高考文科数学试题及答案 一、选择题：每小题5分,共60分 1、已知集合，则集合中的元素个数为（　）. （A） 5 （B）4 （C）3 （D）2 【答案】D 【难度】容易 【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. 2、已知点，向量，则向量 （　）. （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【难度】容易 【点评】本题考查向量的计算问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第六章《平面向量》有详细讲解，其中第01讲，有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对向量相关知识的总结讲解，在百日冲刺班有向量与三角形综合类型题目的讲解。 3、已知复数满足，则（　）. （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【难度】容易 【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（文）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。 4、如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　）. （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【难度】容易 【点评】本题考查概率的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第六章《概率》有详细讲解，其中第04讲主要讲解“高考中的概率题”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。 5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则（　）. （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【难度】容易 【点评】本题考查椭圆与抛物线的基本性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章《圆锥曲线与方程》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程《平面解析几何专题》也有对抛物线的专题讲解。 6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（　）. （A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛 【答案】B 【难度】中等 【点评】本题考查圆锥体积的计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第四章《立体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。 7、已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（　）. （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【难度】容易 【点评】本题考查等差数列的性质及公式。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第二章《数列》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关知识的总结讲解。 8、函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（　）. （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【难度】容易 【点评】本题考查三角函数的性质。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2，第六章《三角函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。 9、执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（　）. （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【难度】容易 【点评】本题考查程序图。在高二数学（文）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。 10、已知函数 ，且，则（　）. （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【难度】较难 【点评】本题考查分段函数求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。 第II 卷 11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则r＝（　）. （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【难度】中等 【点评】本题考查几何体的三视图及其计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第二章《几何体的直观图与三视图》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三视图相关知识的总结讲解，有几乎一致的题目解析。 12、设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则a＝（　）. （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【难度】中等 【点评】本题考查函数图像关于直线对称。在高一数学（文）强化提高班下学期，第一章《函数》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分 13、数列中为的前n项和，若，则 . 【答案】6 【难度】容易 【点评】本题考查等比数列的性质与计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第二章《数列》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关知识的总结讲解。 14.已知函数的图像在点的处的切线过点，则 . 【答案】1 【难度】容易 【点评】本题考查函数切线的性质及计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。 15. 若x,y满足约束条件 ,则z＝3x＋y的最大值为 ． 【答案】4 【难度】中等 【点评】本题考查线性规划求最值。在高一数学（文）上学期讲座2，第五章《不等式》有详细讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对线性规划相关知识的总结讲解。 16.已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 ． 【答案】 【难度】较难 【点评】本题考察双曲线的性质及计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章《圆锥曲线与方程》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程《平面解析几何专题》也有对椭圆的专题讲解。 三、解答题 17. （本小题满分12分）已知分别是内角的对边，. （I）若，求 （II）若，且 求的面积. 【答案】（I）由题设及正弦定理可得. 又a＝b，可得b＝2c,a＝2c. 由余弦定理可得. （II）由（I）知. 因为B＝90°，由勾股定理得. 故，得. 所以，△ABC的面积为1. 【难度】容易 【点评】本题考查三角函数的性质及计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2，第六章《三角函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。 18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，， （I）证明：平面平面； （II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积. 【答案】（I）因为四边形ABCD为菱形，所以，AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD，所以，AC⊥BE.故AC⊥平面BED. 又AC平面AEC，所以，平面AEC⊥平面BED. (II)设AB＝x,在菱形ABCD中，由ABC＝120°，可得 因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可得. 由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得 由已知得，三棱锥E－ACD的体积 故x＝2. 从而可得. 所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为. 故三棱锥E－ACD的侧面积为 【难度】较难 【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及立体几何的相关计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第四章《立体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。 19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费，和年销售量的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. （I）根据散点图可以判断，与，哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（II）的结果回答下列问题： （i）当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？ 【答案】（I）由散点图可以判断，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。 （II）令，先建立y关于w的线性回归方程。由于 所以y关于w的线性回归方程为因此y关于x的回归方程为 （III）(i)由（II）知，当x＝49时，年销售量y的预报值 年利润z的预报值 （ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值 所以，当，即x＝46.24时，取得最大值。 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。 【难度】较难 【点评】本题考查函数的相关计算求解。在高二数学（文）下学期，第五章《统计》第01讲，统计案例中有详细讲解。 20. （本小题满分12分）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N 两点. （I）求k的取值范围； （II），其中O为坐标原点，求. 【答案】（I）由题设，可知直线l的方程为y＝kl＋1. 因为l与C交于两点，所以， 解得 所以k的取值范围为. （II）设M(x1,y1),N(x2,y2). 将y＝kx＋1代入方程，整理得 所以， 由题设可得，解得k＝1,所以l的方程为y＝x＋1 故圆心C在l上，所以|MN|＝2. 【难度】较难 【点评】本题考查圆锥曲线及向量的相关计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章《圆锥曲线与方程》以及高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第六章《平面向量》有详细讲解，其中第01讲，有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对此相关知识的总结讲解。 21. （本小题满分12分）设函数. （I）讨论的导函数的零点的个数； （II）证明：当时. 【答案】(I)f(x)的定义域为（0，＋∞）， 当a≤0时，f’(x)＞0，f’(x)没有零点； 当a＞0时，因为单调递增，单调递增，所以f’(x)在（0，＋∞）单调递增. 又f’(a)＞0，当b满足且时，f’(b)＜0，故当a＞0时，f’(x)存在唯一零点. （II）由（I），可设f’(x)在（0，＋∞）的唯一零点为x0，当x∈（0，x0）时，f’(x)＜0； 当x∈（x0，＋∞）时，f’(x)＞0. 故f(x)在（0，x0）单调递减，在（x0，＋∞）单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0). 由于，所以。 故当a＞0时， 【难度】中等 【点评】本题考查利用导数判断函数的相关性质。在高二数学（文）强化提高班下学期，第一章《导数》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数、导数综合知识的总结讲解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2，第五章《不等式》有详细讲解。 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图AB是圆O直径，AC是圆O切线，BC交圆O与点E. （I）若D为AC中点，求证：DE是圆O切线； （II）若 ，求的大小. 【答案】（I）连结AF，由已知得，AD⊥BC,AC⊥AB. 在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC,故. 连结OE,则 又所以， 故DE是的切线 （II）设CE＝1，AE＝x,由已知得 由射影定理可得，所以， 可得，所以 【难度】较难 【点评】本题考查圆的综合知识。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章《圆锥曲线与方程》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆、椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程《平面解析几何专题》也有对圆的专题讲解。 23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I）求的极坐标方程. （II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积. 【答案】(I)因为x＝pcosx,y＝psinx,所以，C1的极坐标方程为 C2的极坐标方程为 （II）将代入 解得. 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为. 【难度】中等 【点评】本题考查圆锥曲线的极坐标方程。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章《圆锥曲线与方程》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线的极坐标方程等相关知识的总结讲解。 24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式证明选讲 已知函数 . （I）当 时求不等式 的解集； （II）若 图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围. 【答案】（I）当a＝1时，f(x)＞1化为|x＋1|－2|x－1|－1＞0. 当x≤－1时，不等式化为x－4＞0,无解； 当－1＜x＜1时，不等式化为3x－2＞0，解得 当x≥1时，不等式化为－x＋2＞0,解得1≤x＜2. 所以，f(x)＞1的解集为 （II）由题设可得， 所以，函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为 △ABC的面积为 由题设得，故a＞2. 所以，a的取值范围为（2，＋∞）. 【难度】较难 【点评】本题考查线性规划求最值。在高一数学（文）上学期讲座2，第五章《不等式》有详细讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对不等式相关知识的总结讲解。