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1991
年高
数学
理科
湖北
自主
命题
1991年湖北高考理科数学真题及答案
一、选择题:本大题共15小题;每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.
(1) 已知sinα=,并且α是第二象限的角,那么tgα的值等于 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(2) 焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是 ( )
(A) y2=8(x+1)
(B) y2=-8(x+1)
(C) y2=8(x-1)
(D) y2=-8(x-1)
(3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是 ( )
(A)
(B) π
(C) 2π
(D) 4π
(4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有 ( )
(A) 12对
(B) 24对
(C) 36对
(D) 48对
(5) 函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是 ( )
(A) x=-
(B) x=-
(C)
(D)
(6) 如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的 ( )
(A) 垂心
(B) 重心
(C) 外心
(D) 内心
(7) 已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于 ( )
(A) 5
(B) 10
(C) 15
(D) 20
(8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=,那么它的焦点的极坐标为 ( )
(A) (0,0),(6,π)
(B) (-3,0),(3,0)
(C) (0,0),(3,0)
(D) (0,0),(6,0)
(9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有 ( )
(A) 140种
(B) 84种
(C) 70种
(D) 35种
(10) 如果AC<0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过 ( )
(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(11) 设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么 ( )
(A) 丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
(B) 丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
(C) 丙是甲的充要条件
(D) 丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
(12) …(1-)]的值等于 ( )
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(13) 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f (x)在区间[-7,-3]上是 ( )
(A) 增函数且最小值为-5
(B) 增函数且最大值为-5
(C) 减函数且最小值为-5
(D) 减函数且最大值为-5
(14) 圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有 ( )
(A) 1个
(B) 2个
(C) 3个
(D) 4个
(15) 设全集为R,f (x)=sinx,g (x)=cosx,M={x|f (x)≠0},N={x|g (x)≠0},那么集合
{x|f (x)g (x)=0}等于 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题:本大题共5小题;每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上.
(16) arctg+arctg的值是____________
(17) 不等式<1的解集是___________
(18) 已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是45°,那么这个正三棱台的体积等于
(19) (ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项.若实数a>1,那么a=
(20) 在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a.那么这个球面的面积是
三、解答题:本大题共6小题;共60分.
(21) (本小题满分8分)
求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.
(22) (本小题满分8分)
已知复数z=1+i, 求复数的模和辐角的主值.
(23) (本小题满分10分)
已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2.求点B到平面EFG的距离.
(24) (本小题满分10分)
根据函数单调性的定义,证明函数f (x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
(25) (本小题满分12分)
已知n为自然数,实数a>1,解关于x的不等式
logax-logx+12logx+…+n (n-2)logx>log(x2-a)
(26) (本小题满分12分)
双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点.若OP⊥OQ,|PQ|=4,求双曲线的方程.
参考答案
说明:
一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种较为常见的解法,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则.
二、每题都要评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分时,如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响的程度决定后面部分的给分,但不得超过后面部分应给分数的一半;如果这一步以后的解答有较严重的错误,就不给分.
三、为了阅卷方便,本试题解答中的推导步骤写得较为详细,允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤.
四、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
五、只给整数分数.
一、选择题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分,满分45分.
(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A (8)D
(9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D
二、填空题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分,满分15分.
(16) (17) {x|-2<x<1} (18) (19) 1+ (20) 3πa2
三、解答题
(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质.满分8分.
解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x ——1分
=1sin2x(1+cos2x) ——3分
=2+sin2x+cos2x
=2+sin(2x+). ——5分
当sin(2x+)=-1时y取得最小值2-. ——6分
使y取最小值的x的集合为{x|x=kπ-π,k∈Z}. ——8分
(22) 本小题考查复数基本概念和运算能力.满分8分.
解:=
= ——2分
=1-i. ——4分
1-i的模r==.
因为1-i对应的点在第四象限且辐角的正切tgθ=-1,所以辐角的主值
θ=π. ——8分
(23) 本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.满分10分.
解:如图,连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.
BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离. ——4分
∵ BD⊥AC,
∴ EF⊥HC.
∵ GC⊥平面ABCD,
∴ EF⊥GC,
∴ EF⊥平面HCG.
∴ 平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线. ——6分
作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离. ——8分
∵ 正方形ABCD的边长为4,GC=2,
∴ AC=4,HO=,HC=3.
∴ 在Rt△HCG中,HG=.
由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的,故Rt△HKO∽△HCG.
∴ OK=.
即点B到平面EFG的距离为. ——10分
注:未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.
(24) 本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.满分10分.
证法一:在(-∞,+∞)上任取x1,x2且x1<x2 ——1分
则f (x2) -f (x1) == (x1-x2) () ——3分
∵ x1<x2,
∴ x1-x2<0. ——4分
当x1x2<0时,有= (x1+x2) 2-x1x2>0; ——6分
当x1x2≥0时,有>0;
∴ f (x2)-f (x1)= (x1-x2)()<0. ——8分
即 f (x2) < f (x1)
所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数. ——10分
证法二:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2, ——1分
则 f (x2)-f (x1)=x-x= (x1-x2) (). ——3分
∵ x1<x2,
∴ x1-x2<0. ——4分
∵ x1,x2不同时为零,
∴ x+x>0.
又 ∵ x+x>(x+x)≥|x1x2|≥-x1x2
∴ >0,
∴ f (x2)-f (x1) = (x1-x2) ()<0. ——8分
即 f (x2) < f (x1).
所以,函数f (x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数. ——10分
(25) 本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力.满分12分.
解:利用对数换底公式,原不等式左端化为
logax-4·+12·+…+n(-2)n-1 ·
=[1-2+4+…+(-2)n-1] logax
=logax
故原不等式可化为logax>loga(x2-a). ①
当n为奇数时,>0,不等式①等价于
logax>loga(x2-a). ②
因为a>1,②式等价于
——6分
因为<0, >=,
所以,不等式②的解集为{x|<x<}. ——8分
当n为偶数时,<0,不等式①等价于
logax>loga(x2-a). ③
因为a>1,③式等价于
或 ——10分
因为 ——12分
所以,不等式③的解集为{x|x>}.
综合得:当n为奇数时,原不等式的解集是{x|};
当n为偶数时,原不等式的解集是{x|}
(26) 本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.满分12分.
解法一:设双曲线的方程为=1.
依题意知,点P,Q的坐标满足方程组
①
②
将②式代入①式,整理得
(5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. ③ ——3分
设方程③的两个根为x1,x2,若5b2-3a2=0,则=,即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行,故与双曲线只能有一个交点同,与题设矛盾,所以5b2-3a2≠0.
根据根与系数的关系,有
④
⑤ ——6分
由于P、Q在直线y=(x-c)上,可记为
P (x1,(x1-c)),Q (x2,(x2-c)).
由OP⊥OQ得·=-1,
整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. ⑥
将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得
3a4+8a2b2-3b4=0,
(a2+3b2)(3a2-b2)=0.
因为 a2+3b2≠0,解得b2=3a2,
所以 c==2a. ——8分
由|PQ|=4,得(x2-x1)2=[(x2-c)-(x1-c)]2=42.
整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. ⑦
将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1. ——10分
将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3.
故所求双曲线方程为x2-=1. ——12分
解法二:④式以上同解法一. ——4分
解方程③得x1=,x2= ④ ——6分
由于P、Q在直线y=(x-c)上,可记为P (x1,(x1-c)),Q (x2,(x2-c)).
由OP⊥OQ,得x1 x2+(x1-c)·(x2-c)=0. ⑤
将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0,
即 (a2+3b2)(3a2-b2)=0.
因a2+3b2≠0,解得b2=3a2. ——8分
由|PQ|=4,得(x2-x1)2+[(x2-c)-(x1-c)]2=42.
即 (x2-x1)2=10. ⑥
将④式代入⑥式并整理得
(5b2-3a2)2-16a2b4=0. ——10分
将b2=3a2代入上式,得a2=1,
将a2=1代入b2=3a2得b2=3.
故所求双曲线方程为
x2-=1. ——12分