2011年高考数学真题（文科）（湖南自主命题）.doc

2011年湖南高考文科数学真题及答案 参考公式（1）柱体体积公式，其中为底面面积，为高． （2）球的体积公式，其中为球的半径． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩CuN=﹛2,4﹜,则N= A．{1,2,3} B．{1,3,5} C．{1,4,5} D．{2,3,4} 3 3 2 正视图 侧视图 俯视图 图1 2．若，为虚数单位，且则 A．， B． C． D． 3．“”是“”的 A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由算得， 附表： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是 A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 6．设双曲线的渐近线方程为，则a的值为 A．4 B．3 C．2 D．1 7．曲线在点M（，0）处的切线的斜路为 A． B． C． D． 8．已知函数，若有，则b的取值范围为 A．B．C．D． 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题（请考生在9、10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分） 9．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为，则C1与C2的交点个数为 10．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 （二）必做题（11～16题） 11．若执行如图2所示的框图，输入，则输出的数等于 12．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（-2）=3，则f（2）=_________． 13．设向量a，b满足|a|=2，b=（2，1），且a与b的方向相反，则a的坐标为________． 14．设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为． 15．已知圆直线 （1）圆的圆心到直线的距离为． （2）圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为． 16．给定，设函数满足：对于任意大于的正整数， （1）设，则其中一个函数在处的函数值为； （2）设，且当时，，则不同的函数的个数为. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC． （I）求角C的大小； （II）求sinA-cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小. 18．（本小题满分12分） 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. （Ⅰ）完成如下的频率分布表 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 （Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率． 19．（本小题满分12分） 如图3，在圆锥中，已知的直径 的中点． （Ⅰ）证明：平面; （Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值. 20．（本小题满分13分） 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备，的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初的价值为上年初的75%． （Ⅰ）求第年初的价值的表达式； （Ⅱ）设，若大于80万元，则继续使用，否则须在第年初对更新，证明：须在第9年初对更新． 21．（本小题满分13分） 已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1． （Ⅰ）求动点的轨迹的方程； （Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值. 22．（本小题满分13分） 设函数. （Ⅰ）讨论函数的单调性. （Ⅱ）若有两个极值点，记过点的直线斜率为.问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学试题卷（文史类）参考答案 一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分) 1、(2011湖南)设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩CuN=﹛2，4﹜，则N=(　　) A、{1，2，3} B、{1，3，5} C、{1，4，5} D、{2，3，4} 考点：交、并、补集的混合运算。 分析：利用集合间的故选，画出两个集合的韦恩图，结合韦恩图求出集合N． 解答：解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩CuN=﹛2，4﹜， ∴集合M，N对应的韦恩图为 所以N={1，3，5} 故选B 点评：本题考查在研究集合间的关系时，韦恩图是常借用的工具．考查数形结合的数学思想方法． 2、(2011湖南)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a+i)i=b+i则(　　) A、a=1，b=1 B、a=﹣1，b=1 C、a=1，b=﹣1 D、a=﹣1，b=﹣1 考点：复数相等的充要条件。 专题：计算题。 分析：根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等，得到a，b的值． 解答：解：∵(a+i)i=b+i， ∴ai﹣1=b+i， ∴a=1，b=﹣1， 故选C． 点评：本题考查复数的乘法运算，考查复数相等的条件，是一个基础题，这种题目一般出现在试卷的前几个题目中． 3、(2011湖南)“x＞1”是“|x|＞1”的(　　) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件 考点：充要条件。 分析：解绝对值不等式，进而判断“x＞1”“|x|＞1”与“|x|＞1”“x＞1”的真假，再根据充要条件的定义即可得到答案． 解答：解：当“x＞1”时，“|x|＞1”成立 即“x＞1”“|x|＞1”为真命题 而当“|x|＞1”时，x＜﹣1或x＞1，即“x＞1”不一定成立 即“|x|＞1”“x＞1”为假命题 ∴“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件 故选A 点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“x＞1”“|x|＞1”与“|x|＞1”“x＞1”的真假，是解答本题的关键． 4、(2011湖南)设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　) A、9π+42 B、36π+18 C、 D、 考点：由三视图求面积、体积。 专题：计算题。 分析：由三视图可知，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相加． 解答：解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和， 四棱柱的体积3×3×2=18， 球的体积是， ∴几何体的体积是18+， 故选D． 点评：本题考查由三视图求面积和体积，考查球体的体积公式，考查四棱柱的体积公式，本题解题的关键是由三视图看出几何图形，是一个基础题． 5、(2011湖南)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由算得， 附表： p(k2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是(　　) A、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别五关” 考点：独立性检验的应用。 专题：计算题。 分析：根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”． 解答：解：由题意知本题所给的观测值， ∵7.8＞6.635， ∴这个结论有0.01=1%的机会说错， 即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 故选A． 点评：本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量比较大，主要要考查运算能力，本题有所创新，只要我们看出观测值对应的意义就可以，是一个基础题． 6、(2011湖南)设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为(　　) A、4 B、3 C、2 D、1 考点：双曲线的简单性质。 专题：计算题。 分析：先求出双曲线的渐近线方程，再求a的值． 解答：解：的渐近线为y=， ∵y=与3x±2y=0重合， ∴a=2． 故选C． 点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用． 7、(2011湖南)曲线在点M(，0)处的切线的斜率为(　　) A、 B、 C、 D、 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。 专题：计算题。 分析：先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=处的导数，从而求出切线的斜率． 解答：解：∵ ∴y'= = y'|x==|x== 故选B． 点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算，同时考查了计算能力，属于基础题． 8、(2011湖南)已知函数f(x)=ex﹣1，g(x)=﹣x2+4x﹣3，若有f(a)=g(b)，则b的取值范围为(　　) A、 B、(2﹣，2+] C、[1，3] D、(1，3) 考点：函数的零点与方程根的关系。 专题：计算题。 分析：利用f(a)=g(b)，整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可． 解答：解：∵f(a)=g(b)， ∴ea﹣1=﹣b2+4b﹣3 ∴﹣b2+4b﹣2=ea＞0 即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+ 故选B 点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系． 二、填空题(共8小题，每小题5分，满分35分) 9、(2011湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为p(cosθ﹣sinθ)+1=0，则C1与C2的交点个数为　2　． 考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程。 专题：计算题。 分析：先根据同角三角函数的关系消去参数α可求出曲线C1的普通方程，然后利用极坐标公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ进行化简即可求出曲线C2普通方程，最后利用直角坐标方程判断C1与C2的交点个数即可． 解答：解：由曲线C2的方程为p(cosθ﹣sinθ)+1=0，∴x﹣y+1=0．即y=x+1； 将曲线C1的参数方程化为普通方程为． ∴消去y整理得：7x2+8x﹣8=0． △＞0，∴此方程有两个不同的实根， 故C1与C2的交点个数为2． 故答案为2． 点评：本题主要考查椭圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程，求直线与椭圆的交点个数，考查运算求解能力及转化的思想，属于基础题． 10、(2011湖南)【选做】已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是　40或60(只写出其中一个也正确)　． 考点：分数法的最优性。 分析：由题知试验范围为[10，90]，区间长度为80，故可把该区间等分成8段，利用分数法选取试点进行计算． 解答：解：由已知试验范围为[10，90]，可得区间长度为80，将其等分8段， 利用分数法选取试点：x1=10+×(90﹣10)=60，x2=10+90﹣60=40， 由对称性可知，第二次试点可以是40或60． 故答案为：40或60． 点评：本题考查的是分数法的简单应用．一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑：(1)可能的试点总数正好是某一个(Fn﹣1)．(2)所有可能的试点总数大于某一(Fn﹣1)，而小于(Fn+1﹣1)． 11、(2011湖南)若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2，x3=4，x4=8则输出的数等于． 考点：循环结构。 专题：计算题；阅读型。 分析：先根据流程图分析出该算法的功能，然后求出所求即可． 解答：解：该算法的功能是求出四个数的平均数 故输出的数== 故答案为： 点评：根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模． 12、(2011湖南)已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9，g(﹣2)=3，则f(2)=　6　． 考点：函数奇偶性的性质。 专题：计算题。 分析：将等式中的x用2代替；利用奇函数的定义及g(﹣2)=3，求出f(2)的值． 解答：解：∵g(﹣2)=f(﹣2)+9 ∵f(x)为奇函数 ∴f(﹣2)=﹣f(2) ∴g(﹣2)=﹣f(2)+9 ∵g(﹣2)=3 所以f(2)=6 故答案为6 点评：本题考查奇函数的定义：对于定义域中的任意x都有f(﹣x)=﹣f(x) 13、(2011湖南)设向量，满足||=2，=(2，1)，且与的方向相反，则的坐标为　(﹣4，﹣2)　． 考点：平面向量共线(平行)的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。 专题：计算题。 分析：要求向量的坐标，我们可以高设出向量的坐标，然后根据与的方向相反，及||=2，我们构造方程，解方程得到向量的坐标． 解答：解：设=(x，y) ∵与的方向相反， 故=λ=(2λ，λ)(λ＜0) 又∵||=2， 则x2+y2=20 ∴5λ2=20 解得λ=﹣2 则设=(﹣4，﹣2) 故答案为(﹣4，﹣2) 点评：本题考察的知识点是平面向量共线(平行)的坐标表示，平面向量模的计算，其中根据与的方向相反，给出向量的横坐标与纵坐标之间的关系是解答本题的关键． 14、(2011湖南)设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为　3　． 考点：简单线性规划的应用。 专题：计算题；数形结合。 分析：根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间(，)上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X+5y在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的方程，解方程即可求出m的取值范围． 解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示： 当x=，y=时， 目标函数z=x+5y取最大值为4，即； 解得m=3 故答案为3 点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中判断出目标函数Z=X+my在点取得最大值，并由此构造出关于m的方程是解答本题的关键． 15、(2011湖南)已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25． (1)圆C的圆心到直线l的距离为　5　； (2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为． 考点：点到直线的距离公式；几何概型；直线与圆的位置关系。 专题：计算题。 分析：(1)根据所给的圆的标准方程，看出圆心，根据点到直线的距离公式，代入有关数据做出点到直线的距离． (2)本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果． 解答：解：(1)由题意知圆x2+y2=12的圆心是(0，0)， 圆心到直线的距离是d==5， (2)由题意知本题是一个几何概型， 试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长， 满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点， 根据上一问可知圆心到直线的距离是5， 在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线， 根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60° 根据几何概型的概率公式得到P== 故答案为：5； 点评：本题考查点到直线的距离，考查直线与圆的位置关系，考查几何概型的概率公式，本题是一个基础题，运算量不大． 16、(2011湖南)给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n：f(n)=n﹣k (1)设k=1，则其中一个函数f(x)在n=1处的函数值为　a(a为正整数)　； (2)设k=4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为　16　． 考点：函数的概念及其构成要素；分步乘法计数原理。 专题：计算题；探究型。 分析：题中隐含了对于小于或等于K的正整数n，其函数值也应该是一个正整数，但是对应法则由题意而定 (1)n=k=1，题中给出的条件“大于k的正整数n”不适合，但函数值必须是一个正整数，故f(1)的值是一个常数(正整数)； (2)k=4，且n≤4，与条件“大于k的正整数n”不适合，故f(n)的值在2、3中任选其一，再由乘法原理可得不同函数的个数． 解答：解：(1)∵n=1，k=1且f(1)为正整数 ∴f(1)=a(a为正整数) 即f(x)在n=1处的函数值为a(a为正整数) (2)∵n≤4，k=4f(n)为正整数且2≤f(n)≤3 ∴f(1)=2或3且f(2)=2或3且f(3)=2或3且f(4)=2或3 根据分步计数原理，可得共24=16个不同的函数 故答案为(1)a(a为正整数) (2)16 点评：本题题意有点含蓄，发现题中的隐含条件，是解决本题的关键，掌握映射与函数的概念是本题的难点． 三、解答题(共6小题，满分75分) 17、(2011湖南)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC． (1)求角C的大小； (2)求sinA﹣cos(B+)的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小． 考点：三角函数的恒等变换及化简求值。 专题：计算题。 分析：(1)利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C=． (2)B=﹣A，化简sinA﹣cos(B+)=2sin(A+)．因为0＜A＜，推出 求出2sin(A+)取得最大值2．得到A=，B= 解答：解：(1)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC， 因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC， 又cosC≠0，所以tanC=1，C=． (2)有(1)知，B=﹣A，于是 =sinA+cosA =2sin(A+)． 因为0＜A＜，所以 从而当A+，即A=时 2sin(A+)取得最大值2． 综上所述，cos(B+)的最大值为2，此时A=，B= 点评：本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型． 18、(2011湖南)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160． (Ⅰ)完成如下的频率分布表 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 (Ⅱ)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率． 考点：频率分布表；互斥事件的概率加法公式。 专题：应用题；综合题。 分析：(I)从所给的数据中数出降雨量为各个值时对应的频数，求出频率，完成频率分布图． (II)将发电量转化为降雨量，利用频率分布表，求出发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率． 解答：解：(I)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个， 故近20年六月份降雨量频率分布表为 (II)P(“发电量低于490万千瓦时“) =P(Y＜490或Y＞530)=P(X＜130或＞210) =P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)= 故今年六月份该水利发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为： 点评：本题考查频率公式：频率=；考查将问题等价转化的能力． 19、(2011湖南)如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙OD的直径AB=2，点C在上，且∠CAB=30°，D为AC的中点． (Ⅰ)证明：AC⊥平面POD； (Ⅱ)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值． 考点：直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法。 专题：计算题；证明题。 分析：(I)由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，根据直线与平面垂直的判定定理可证 (II)由(I)可证面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC，∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角，在Rt△OHC中，求解即可 解答：解(I)因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD 又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O 所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线 所以AC⊥平面POD (II)由(I)知，AC⊥平面POD，又AC平面PAC 所以平面POD⊥平面PAC 在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC 连接CH，则CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角 在Rt△ODA中，OD=OA．sin30°= 在Rt△POD中，OH= 在Rt△OHC中， 故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为 点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，空间直线与平面所成角的求解，考查了运算推理的能力及空间想象的能力 20、(2011湖南)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%． (Ⅰ)求第n年初M的价值an的表达式； (Ⅱ)设，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新． 考点：分段函数的应用；数列与函数的综合。 专题：综合题。 分析：(I)通过对n的分段讨论，得到一个等差数列和一个等比数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的通项公式求出第n年初M的价值an的表达式； (II)利用等差数列、等比数列的前n项和公式求出An，判断出其两段的单调性，求出两段的最小值，与80比较，判断出须在第9年初对M更新． 解答：解：(I)当n＜6时，数列{an}是首项为120，公差为﹣10的等差数列 an=120﹣10(n﹣1)=130﹣10n 当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6=70 所以 因此，第n年初，M的价值an的表达式为 (II)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得 当1≤n≤6时，Sn=120n﹣5n(n﹣1)，An=120﹣5(n﹣1)=125﹣5n 当n≥7时，由于S6=570故 Sn=S6+(a7+a8+…+an)== 因为{an}是递减数列， 所以{An}是递减数列， 又 所以须在第9年初对M更新． 点评：本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式、考查等比数列的通项公式及前n项和公式、考查分段函数的问题要分到研究． 21、(2011湖南)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1． (Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程； (Ⅱ)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；抛物线的定义。 专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论；函数思想；方程思想。 分析：(Ⅰ)设动点P的坐标为(x，y)，根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，列方程，并化解即可求得动点P的轨迹C的方程； (Ⅱ)设出直线l1的方程，理想直线和抛物线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线l2的方程与抛物线的交点坐标，代入利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值． 解答：解：(Ⅰ)设动点P的坐标为(x，y)，由题意得， 化简得y2=2x+2|x|． 当x≥0时，y2=4x；当x＜0时，y=0， 所以动点P的轨迹C的方程为y2=4(x≥0)和y=0(x＜0)． (Ⅱ)由题意知，直线l1的斜率存在且不为零，设为k，则l1的的方程为y=k(x﹣1)． 由，得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0． 设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2=2+，x1x2=1． ∵l1⊥l2，∴直线l2的斜率为﹣． 设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1． 故== ==(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1) =x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+x3+x4+1 1+2++1+1+2+4k2+1=8+4(k2+)≥8+4×2=16， 当且仅当k2=，即k=±1时，的最小值为16． 点评：此题是个难题．考查代入法求抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力． 22、(2011湖南)设函数． (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性． (Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1，x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件。 专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论。 分析：(Ⅰ)求导，令导数等于零，解方程，跟据f′(x)f(x)随x的变化情况即可求出函数的单调区间； (Ⅱ)假设存在a，使得k=2﹣a，根据(I)利用韦达定理求出直线斜率为k，根据(I)函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题． 解答：解：(I)f(x)定义域为(0，+∞)， f′(x)=1+， 令g(x)=x2﹣ax+1，△=a2﹣4， ①当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增， ②当a＜﹣2时，△＞0，g(x)=0的两根都小于零，在(0，+∞)上，f′(x)＞0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增， ③当a＞2时，△＞0，g(x)=0的两根为x1=，x2=， 当0＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x＞x2时，f′(x)＞0； 故f(x)分别在(0，x1)，(x2，+∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减． (Ⅱ)由(I)知，a＞2． 因为f(x1)﹣f(x2)=(x1﹣x2)+﹣a(lnx1﹣lnx2)， 所以k==1+﹣a， 又由(I)知，x1x2=1．于是 k=2﹣a， 若存在a，使得k=2﹣a，则=1，即lnx1﹣lnx2=x1﹣x2， 亦即(*) 再由(I)知，，函数在(0，+∞)上单调递增， 而x2＞1， 所以＞1﹣1﹣2ln1=0，这与(*)式矛盾， 故不存在a，使得k=2﹣a． 点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f'(x)=0有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中问题(II)是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．