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2008年高考数学真题(理科)(湖北自主命题).doc
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2008 年高 数学 理科 湖北 自主 命题
2008年湖北高考理科数学真题及答案 本试卷共4面,满分150分,考试时间120分钟 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘巾在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上,对应题目的答案标号涂写,如写改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效。 3. 非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。 4. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本次题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c= A.(-15,12)    B.0 C.-3 D.-11 2. 若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则 A. “x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B. “x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C. “x∈C”是“x∈A”的充要条件 D. “x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 3. 用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为 A. B. C. D. 4. 函数f(x)=的定义域为 A.(- ∞,-4) ∪[2,+ ∞] B.(-4,0)∪(0,1) C.[-4,0]∪(0,1)         D. [-4,0]∪(0,1) 5.将函数y=3sin(x-θ)的图象F按向量(,3)平移得到图象F′ ,若F′的一条对称轴是直线x=,则θ的一个可能取值是 A. B. C. D. - 6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作,每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 A.540 B.300 C.180 D.150 7.若f(x)=上是减函数,则b的取值范围是 A.[-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1) 8.已知m∈N*,a,b∈R,若,则a·b= A.-m B.m C.-1 D.1 9.过点A(11,2)作圆的弦,其中弦长为整数的共有 A.16条 B.17条 C.32条 D.34条 10.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①a1+c1=a2+c2; ②a1-c1=a2-c2; ③c1a2>a1c2; ④<. 其中正确式子的序号是 A.①③       B.②③    C.①④    D.②④ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.设z1是复数,z2=z1-i (其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为 . 12.在△ABC中,三个角A,B,C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccosA+cacosB+abcosC的值为 . 13.已知函数f(x)=x2+2x+a, f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R,a,b为常数,则方程f(ax+b)=0的解集为 . 14.已知函数f(x)=2x,等差数列{ax}的公差为2,若 f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则 log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]= . 15.观察下列等式: …………………………………… 可以推测,当k≥2(k∈N*)时, ak-2= . 三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函数f(t)= (Ⅰ)将函数g(x)化简成Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))的形式; (Ⅱ)求函数g(x)的值域. 17.(本小题满分12分) 袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. (Ⅰ)求ξ的分布列,期望和方差; (Ⅱ)若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值. 18.(本小题满分12分) 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1. (Ⅰ)求证:AB⊥BC; (Ⅱ)若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为,试判断θ与的大小关系,并予以证明. 19.(本小题满分13分) 如图,在以点O为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB中,OD⊥AB,P是半圆弧上一点, ∠POB=30°,曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P. (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程; (Ⅱ)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F. 若△OEF的面积不小于2,求直线l斜率的取值范围. 20.(本小题满分12分) 水库的蓄水量随时间而变化,现用t表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于t的近似函数关系式为 V(t)= (Ⅰ)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i-1<t<i表示第i月份(i=1,2,…,12),问一年内哪几个月份是枯水期? (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取e=2.7计算). 21.(本小题满分14分) 已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=其中λ为实数,n为正整数. (Ⅰ)对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)设0<a<b,Sn为数列{bn}的前n项和。是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a<Sn<b?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由. 参考答案 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分50分. 1.C 2.B 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.A 9.C 10.B 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分25分. 11. 1   12.   13.   14. -6  15. ,0 三、解答题:本大题共6小题,共75分. 16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识,考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.(满分12分) 解:(Ⅰ)    = (Ⅱ)由得 在上为减函数,在上为增函数, 又(当), 即 故g(x)的值域为 17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念,以及基本的运算能力.(满分12分) 解:(Ⅰ)的分布列为: 0 1 2 3 4 P ∴ D(Ⅱ)由,得a2×2.75=11,即又所以 当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2; 当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4. ∴或即为所求. 18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识,同时考查空间想象能力和推理能力.(满分12分) (Ⅰ)证明:如右图,过点A在平面A1ABB1内作 AD⊥A1B于D,则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC, 所以AD⊥BC. 因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱, 则AA1⊥底面ABC, 所以AA1⊥BC. 又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1, 又AB侧面A1ABB1,故AB⊥BC. (Ⅱ)解法1:连接CD,则由(Ⅰ)知是直线AC与平面A1BC所成的角, 是二面角A1—BC—A的平面角,即 于是在Rt△ADC中,在Rt△ADB中, 由AB<AC,得又所以 解法2:由(Ⅰ)知,以点B为坐标原点,以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=a, AC=b,AB=c, 则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是 设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),则 由得 可取n=(0,-a,c),于是与n的夹角为锐角,则与互为余角. 所以 于是由c<b,得 即又所以 19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识,考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.(满分13分) (Ⅰ)解法1:以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(),依题意得 ||MA|-|MB||=|PA|-|PB|=< |AB|=4. ∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线. 设实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c, 则c=2,2a=2,∴a2=2,b2=c2-a2=2. ∴曲线C的方程为. 解法2:同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得 ||MA|-|MB||=|PA|-|PB|<|AB|=4. ∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为>0,b>0). 则由  解得a2=b2=2, ∴曲线C的方程为 (Ⅱ)解法1:依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理 得(1-k2)x2-4kx-6=0. ① ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F, ∴    ∴k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,). ② 设E(x1,y1),F(x2, y2),则由①式得x1+x2=,于是 |EF|= = 而原点O到直线l的距离d=, ∴S△DEF= 若△OEF面积不小于2,即S△OEF,则有 ③ 综合②、③知,直线l的斜率的取值范围为[-,-1]∪(-1,1) ∪(1, ). 解法2:依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理, 得(1-k2)x2-4kx-6=0. ① ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F, ∴ . ∴k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,). ② 设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 |x1-x2|= ③ 当E、F在同一支上时(如图1所示), S△OEF= 当E、F在不同支上时(如图2所示). S△ODE= 综上得S△OEF=于是 由|OD|=2及③式,得S△OEF= 若△OEF面积不小于2  ④ 综合②、④知,直线l的斜率的取值范围为[-,-1]∪(-1,1)∪(1,). 20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识,考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.(满分12分) 解:(Ⅰ)①当0<t10时,V(t)=(-t2+14t-40) 化简得t2-14t+40>0, 解得t<4,或t>10,又0<t10,故0<t<4. ②当10<t12时,V(t)=4(t-10)(3t-41)+50<50, 化简得(t-10)(3t-41)<0, 解得10<t<,又10<t12,故 10<t12. 综合得0<t<4,或10<t12, 故知枯水期为1月,2月, 3月,4月,11月,12月共6个月. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到. 由V′(t)= 令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去). 当t变化时,V′(t) 与V (t)的变化情况如下表: t (4,8) 8 (8,10) V′(t) + 0 - V(t) 极大值 由上表,V(t)在t=8时取得最大值V(8)=8e2+50-108.32(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米 21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想,考查综合分析问题的能力和推理认证能力,(满分14分) (Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有=a1a3,即 矛盾. 所以{an}不是等比数列. (Ⅱ)解:因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1(an-2n+14) =-(-1)n·(an-3n+21)=-bn 又b1=-(λ+18),所以 当λ=-18,bn=0(n∈N*),此时{bn}不是等比数列: 当λ≠-18时,b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0,∴(n∈N*). 故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-18时, bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ≠-18,故知bn= -(λ+18)·(-)n-1,于是可得 Sn=- 要使a<Sn<b对任意正整数n成立, 即a<-(λ+18)·[1-(-)n]<b(n∈N*) (n∈N*) ① 当n为正奇数时,1<f(n) ∴f(n)的最大值为f(1)=, f(n)的最小值为f(2)= , 于是,由①式得a<-(λ+18) < 当a<b3a时,由-b-18=-3a-18知,不存在实数λ满足题目要求; 当b>3a时,存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a<Sn<b,且λ的取值范围是 (-b-18,-3a-18).

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