2010年高考数学真题（理科）（湖南自主命题）.doc

2010年湖南高考理科数学真题及答案 本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式：锥体的体积公式为，其中是锥体的底面积，是锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．下列命题中的假命题是 A．， B．， C．， D．， 3．极坐标方程和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是 A．圆、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．直线、直线 4．在中，，，则等于 A． B． C．8 D．16 5．等于 A． B． C． D． 6．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若，，则 A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a与b的大小关系不能确定 7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A．10 B．11 C．12 D．15 8．用表示a，b两数中的最小值，若函数的图象关于直线对称，则t的值为 A．-2 B．2 C．-1 D．1 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9．已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间.若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 . 10．如图1所示，过⊙O外一点P作一直线与⊙O交于A，B 两点.已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB 的长为 . 11．在区间[-1，2]上随机取一个数x，则的概率为 . 12．图2是求的值的程序框图，则正整数 ． 13．图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则 ． 14．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ． 15．若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则 ， ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的最大值； （II）求函数的零点集合. 17．（本小题满分12分） 图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图. （I）求直方图中x的值； （II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望. 18．（本小题满分12分） 如图5所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点. （I）求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值； （II）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？证明你的结论. 19．（本小题满分13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域． （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程； （Ⅱ）如图6所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间． 20．（本小题满分13分） 已知函数，对任意，恒有 （I）证明：当时， （II）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值. 21．（本小题满分13分） 数列中，是函数的极小值点. （I）当a=0时，求通项 （II）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由. 参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1—4 CBAD 5—8 DABD 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9．171.81或48.2 10．6 11． 12．100 13．4 14．2 15．2， 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（I）因为 所以，当，即时，函数取得最大值1. （II）解法1 由（I）及得，所以 ，或即 故函数的零点的集合为 解法2 由得于是，或 即 由；由可知 故函数的零点的集合为 17．解：（I）依题意及频率分布直方图知， 0.02+0.1+x+0.37+0.39=1, 解得x=0.12. （II）由题意知，X~B（3，0.1）. 因此 故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0．729 0．243 0．027 0．001 X的数学期望为EX=3×0.1=0.3. 18．解法1 设正方体的棱长为1，如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系. （I）依题意，得B（1，0，0），E（）， A（0，0，0），D（0，1，0），所以 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，因为AD⊥平面 ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量， 设直线BE和平面ABB1A1所成的角为，则 即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 （II）依题意，得 设是平面A1BE的一个法向量，则由，得 所以取 设F是棱C1D上的点，则F（t，1，1） 又所以 D而平面A1BE，于是 B1F//平面A1BE 为C1D1的中点，这说明在棱C1D1上存在点F（C1D1的中点），使B1F//平面A1BE. 解法2（I）如图（a）所示，取AA1的中点M，连结EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A2为正方形，所以EM//AD. 又在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM为BE和平面ABB1A1所成的角. 设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，于是， 在中， 即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 （II）在棱C1D上存在点F，使B1F//平面A1BE. 事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点为F，G，连结EG，BG，CD1，FG.因A1D1//B1C1//BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此，D1C//A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG//D1C，从而EG//A1B，这说明A1，B，G，E，共面，所以BG平面A1BE. 因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG//C1C//B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F//BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F//平面A1BE. 19．解：（I）设边界曲线上点P的坐标为 当时，由知，点P在以A，B，为焦点，长轴长为的椭圆上，此时短半轴长因而其方程为 故考察区域边界曲线（如图）的方程为 （II）设过点P1，P2的直线为，过点P2，P3的直线为，则直线的方程分别为 设直线平等于直线，其方程为 代入椭圆方程消去y，得 由解得m=8，或m=-8 从图中可以看出，当m=8时，直线与C2的公共点到直线的距离最近，此时直线的方程为之间的距离为 又直线到C1和C2的最短距离，所以考察区域边界到冰川边界的线的最短距离为3. 设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设及等比数列求和公式， 得，所以 故冰川界线移动到考察区域所需的最短时间为4年. 20．解：（I）易知由题设，对任意的即 恒成立，所以， 从而 于是 故当时，有 即当时， （II）由（I）知， 当时，有 令 而函数的值域是 因此，当时，M的取值集合为 当时，由（I）知， 此时 从而恒成立. 综上所述，M的最小值为 21．解：易知 令 （1）若则 当单调递增； 当单调递减； 当单调递增. 故取得极小值. （2）若仿（1）得，在取得极小值. （3）若无极值. （Ⅰ）当时，由（1）知， 因则由（1）知， 因为，则由（2）知，. 又因为则由（2）知， 由此猜测：当时， 下面先用数学归纳法证明：当时， 事实上，当时，由前面的讨论知结论成立. 假设当成立，则由（2）知，，从而 ， 所以 故当时，成立. 于是由（2）知，当时，，因此 综上所述，当a=0时， （II）存在a，使数 列是等比数列， 事实上，由（2）知，若对任意的n，都有，则 即数列是首项为a，公比为3的等比数列，且 而要使，即都成立，只需对一切都成立.记… 令，则， 因此，当时，，从而函数在上单调递减，故当时，数列单调递减，即数列中最大项为于是当时，必有 这说明，当时，数列是等比数列. 当 由（3）知，无极值，不合题意. 当时，可得…，数列不是等比数列. 当由（3）知，无极值，不合题意. 当…，数列不是等比数列. 综上所述，存在a，数列是等比数列，且a的取值范围为