2015年高考数学真题（理科）（江西自主命题）.doc

2015年江西高考理科数学试题及答案 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 设复数z满足=i，则|z|= （A）1 （B） （C） （D）2 （2）sin20°cos10°-cos160°sin10°= （A） （B） （C） （D） （3）设命题P：nN，>，则P为 （A）nN, > （B） nN, ≤ （C）nN, ≤ （D） nN, = （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 （5）已知M（x0，y0）是双曲线C： 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是 （A）（-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，） （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 （7）设D为ABC所在平面内一点=3，则 （A）=+ (B)= （C）=+ (D)= (8)函数f(x)=的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为 (A)（）,k (b)（）,k (C)（）,k (D)（）,k （9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （10） 的展开式中，y²的系数为 （A）10 （B）20 （C）30（D）60 （11） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r= （A）1（B）2（C）4（D）8 12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（ ） A.[-，1） B. [-，） C. [，） D. [，1） 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 （13）若函数f(x)=xln（x+）为偶函数，则a= （14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。 （15）若x,y满足约束条件则的最大值为 . （16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0， （Ⅰ）求{an}的通项公式： （Ⅱ）设 ,求数列}的前n项和 （18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）证明：平面AEC⊥平面AFC （2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值 （19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 （x1-）2 （w1-）2 （x1-）(y-) （w1-）(y-) 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中w1 =1, ， = （1） 根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为： （20）（本小题满分12分） 在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线y=ks+a(a>0)交与M,N两点， （Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程； （Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当K变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。 （21）（本小题满分12分） 已知函数f（x）= (Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线； （Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 （22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB是☉O的直径，AC是☉C的Q切线，BC交☉O于E （I） 若D为AC的中点，证明：DE是O的切线； （II） 若OA=CE，求∠ACB的大小.  （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中。直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （I） 求，的极坐标方程； （II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积 （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； （Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 2015年江西高考理科数学试题及答案 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 二. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （2） 设复数z满足=i，则|z|= （A）1 （B） （C） （D）2 【解析】 可得，故可得，选择A. 【点评】本题考查复数的运算。该题目在 高二数学（理）强化提高班 课程讲座 第四章 复数 第02讲 模的运算部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （2）sin20°cos10°-cos160°sin10°= （A） （B） （C） （D） 【解析】本题三角函数公式，故可得 ，选择D. 【点评】本题考查三角函数公式。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第八章 三角函数 第01讲 三角函数（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （3）设命题P：nN，>，则P为 （A）nN, > （B） nN, ≤ （C）nN, ≤ （D） nN, = 【解析】本题考查命题的否定，条件和结论都需要否定，因此选择C. 【点评】本题考查命题的否定。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十五章 常用逻辑语 第01讲 常用逻辑语（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 【解析】本题考查事件的概率，至少投中2次才能通过，那么投中的次数是2或3，因此概率为 ，选择A. 【点评】本题考查事件的概率。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十四章 概率 第02讲 概率（二）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （5）已知M（x0，y0）是双曲线C： 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是 （A）（-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，） 【解析】本题考查双曲线 通过可得，而，因此可得，故答案为A. 【点评】本题考查双曲线。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质 第01讲 圆锥曲线的方程与性质（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 【解析】本题考查空间立体几何，有四分之一圆弧的周长为8尺可以得出， ，，因此，故体积为，通过计算可得 换算单位可得，因此选择B. 【点评】本题考查空间立体几何。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十一章立体几何 第01讲立体几何（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （7）设D为ABC所在平面内一点=3，则 （A）=+ (B)= （C）=+ (D)= 【解析】本题考查平面向量，画出图形， 可知答案为A. 【点评】本题考查平面向量。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第九章平面向量 第01讲 平面向量（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 (8)函数f(x)=的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为 (A)（）,k (b)（）,k (C)（）,k (D)（）,k 【解析】本题考查三角函数的单调性，根据图像确定函数的解析式，然后再确定单调区间，故可得答案为B. 【点评】本题考查三角函数的单调性。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第八章三角函数第03讲 三角函数（三）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 【解析】本题考查算法，过程为 【点评】本题考查算法。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十三章算法与统计 第01讲 算法与统计 部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （11） 的展开式中，y²的系数为 （A）10 （B）20 （C）30（D）60 【解析】本题考查二项式公式，把x+y看做是一个整体，因此可得 只能是中的某一项，故可得系数为：，故选择C. （12） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r= （A）1（B）2（C）4（D）8 【解析】本题考查三视图， 由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16 + 20，解得r=2，故选B. 【点评】本题考查三视图。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十一章立体几何 第01讲 立体几何（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（ ） A.[-，1） B. [-，） C. [，） D. [，1） 【解析】 【点评】本题考查导数的应用。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第四章函数的值域、最值求法及应用 第02讲 函数的值域、最值求法及应用（二）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 （13）若函数f(x)=xln（x+）为偶函数，则a= 【解析】本题考查偶函数，因此有 ，故可得 因此可得. 【点评】本题考查偶函数。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第三章函数的性质及其应用 第03讲 函数的性质及其应（三）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。 【解析】本题考查圆的方程，设圆心坐标为（a，0），因此可得 ，或解得，因此圆的方程为 【点评】本题考查圆的方程。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质 第02讲 曲线的方程与性质（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （15）若x,y满足约束条件则的最大值为 . 【解析】本题考查线性规划，根据题意画出可行域， 可以看做是与原点连线的斜率，因此如果最大值，也就是求斜率的最大值，通过图形观察可知在(1,3)处有最大值是3，因此的最大值是3. 【点评】本题考查线性规划。该题目在高一数学下（讲座2）强化提高班 课程讲座 第五章不等式 第06讲 不等式（六）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 【解析】如下图所示，延长BA，CD交于点E，则可知 中，，， ，设，则 ，故可得 所以，而 因此可得的范围是. 【点评】本题考查三角形。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第八章三角函数 第04讲 三角函数（四）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0， （Ⅰ）求{an}的通项公式： （Ⅱ）设 ,求数列}的前n项和 【解析】 （Ⅰ）因为，所以，两式相减可得 即，，，故可得 所以是等差数列，将代入中可得或（舍去） 因此可得通项公式为 （Ⅱ），因此它的前n项和为 【点评】本题考查数列。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第六章数列 第05讲 数列（五）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）证明：平面AEC⊥平面AFC （2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值 【解析】 连结，设，连结 在菱形中，不妨设，由可得 由，可知.又，所以且 在中，可得故 在中，可得 在直角梯形中，，，可得 从而有，所以 又可得，又，所以 (2)如图，以为坐标原点，分别以和为x轴和y轴正方向，为单位长度，建立直角坐标系，因此可得，所以 ，故可得 所以直线与直线所成角的余弦值是. 【点评】本题考查立体几何。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十一章立体几何 第03讲 立体几何（三）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 （x1-）2 （w1-）2 （x1-）(y-) （w1-）(y-) 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中w1 =1, ， = （2） 根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （iii） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （iv） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【解析】（1）适宜，由图像分析可知符合抛物线的方程 （2） 所以 （3） 由可得 当可得时，年利率的预报值最大 【点评】本题考查回归方程。该题目在高二数学上（理）强化提高班 课程讲座 第二章统计 第01讲 统计（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （20）（本小题满分12分） 在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线y=ks+a(a>0)交与M,N两点， （Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程； （Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当K变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。 【解析】（Ⅰ）当时，直线，则C与的交点为M,N，它们的横坐标是或 不妨设 对求导可得 所以点切线的斜率为，点切线的斜率为 所以点切线方程为： 点切线方程为： （Ⅱ）设 ，则直线与直线的斜率互为相反数，也就是 即 联立方程可得因此可得，所以 也就是的坐标与无关，所以存在点在变动时，使得 【点评】本题考查圆锥曲线。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质 第01讲 曲线的方程与性质（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （21）（本小题满分12分） 已知函数f（x）= (Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线； （Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数 【解析】 (Ⅰ)根据已知，，若轴为曲线的切线，设切点横坐标为，则可得 即，解得 所以当时，轴为曲线的切线. （Ⅱ）当时，，于是单调递增，而，于是与 有唯一交点，且交点的横坐标，此时函数的零点个数为1. 当时，在上递减，在上递增，在处有极小值为 此时与在内忧唯一交点，函数的零点个数为1. 当时，此时极小值为0，函数的零点个数为2 当时，此时的极小值小于0，因此函数的零点个数为3 当时，此时与相交于，函数的零点个数为2 当时，此时与的交点的横坐标大于1，此时函数的零点个数为1 综上可得，数的零点个数为： 【点评】本题考查函数的性质。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第三章函数的性质及其应用 第01讲 函数的性质及其应用（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 （22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB是☉O的直径，AC是☉C的Q切线，BC交☉O于E （III） 若D为AC的中点，证明：DE是O的切线； （IV） 若OA=CE，求∠ACB的大小.  【解析】（1）连结，由已知可得， 在中，因为是中点，因此可得，故 连结，则有，又，所以，故 ，所以是圆的切线. （2）设，，由已知得 由射影定理可得：，所以，解得，所以 【点评】本题考查直线与圆的关系。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十章直线与圆 第03讲 直线与圆（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中。直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （III） 求，的极坐标方程； （IV） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积 【解析】（1）即 即，也就是 （2）代入可得即 则或 即，故 因此圆心到直线的距离为 故 【点评】本题考查曲线极坐标方程。该题目在高二数学下（理）强化提高班 课程讲座 第九章极坐标系 第01讲 极坐标系 部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； （Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 (1) 【解析】 （1）当时， 因此当时，，若则有，故，这与无交集； 当时，，若则有故，这的交集为； 当时，，若则有故，这的交集为 综上可得 （2）由于，则可得 画出分段函数的图像，可得时，，当时， 因此可得三角形的面积为： 解得或（舍去） 故可得 【点评】本题考查函数的综合应用。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第五章函数图象的画法及应用 第02讲 函数图象的画法及应用（二）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。