2008年高考数学真题（文科）（湖北自主命题）.doc

2008年湖北高考文科数学真题及答案 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. ★祝考试顺利★ 注间事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效. 3.填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效. 4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设a=(1，－2), b=(－3,4),c=(3,2)，则(a+2b)·c= A. B.0 C.－3 D.－11 2. 10的展开式中常数项是 A.210 B. C. D.－105 3.若集合 A. “”是“”的充分条件但不是必要条件 B. “”是“”的必要条件但不是充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 4.用与球必距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为 A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系中，满足不等式组的点的集合用阴影表示为下列图中的 6.已知在R上是奇函数，且满足 当时， ，则 = A.－2 B.2 C.－98 D.98 7.将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是 A. B. C. D. 8. 函数的定义域为 A. B. C. D. 9.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A.100 B.110 C.120 D.180 10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①②③④其中正确式子的序号是 A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上. 11.一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的员工人数是 . 12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则 A＝ . 13.方程的实数解的个数为 . 14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 . 15.圆的圆心坐标为 ，和圆C关于直线对称的圆C′的普通方程是 . 三、解答题：本大题共6分小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满12分） 已知函数 （Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期； （Ⅱ）求函数上的最大值和最小值 17.（本小题满分12分） 已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9. （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若斜率为－5的直线是曲线的切线，求此直线方程。 18.（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，平面侧面 （Ⅰ）求证： （Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角 19.（本不题满分12分） 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？ 20（本小题满分13分） 已知双曲线的两个焦点为在双曲线C上. （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， 若△OEF的面积为求直线l的方程 21.（本小题满分14分） 已知数列{an}和{bn}满足：a1=，an+1=,bn=(－1)n(an－3n+21)，其中为实数，为正整数。 （I）证明：对任意实数，数列{an}不是等比数列； （II）证明：当 （III）设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 参考答案 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.第小题5分，满分50分. 1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，第小题5分，满分25分. 11. 10 12. 30°（或） 13. 2 14. 0.98 15.（3，－2），（x＋2）2＋（y－3）2＝16（或x2＋y2＋4x－6y－3＝0） 三、解答题：本题共6小题，共75分. 16.本小题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力. （满分12分） 解：(Ⅰ)f(x)=sinx+. 故f(x)的周期为2kπ｛k∈Z且k≠0｝. (Ⅱ)由π≤x≤π，得.因为f(x)＝在[]上是减函数，在[]上是增函数. 故当x=时，f(x)有最小值－；而f(π)=－2，f(π)＝－＜－2， 所以当x=π时，f(x)有最大值－2. 17.本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力.（满分12分） 解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m, 当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞,－m) －m (－m,) (,+∞) f’(x) + 0 － 0 + f (x) 极大值 极小值 从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9， 即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1, 依题意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－. 又f(－1)＝6，f(－)＝， 所以切线方程为y－6＝－5(x＋1), 或y－＝－5(x＋)， 即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0. 18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.（满分12分） (Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B， 得AD⊥平面A1BC.又BC平面A1BC 所以AD⊥BC. 因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱, 则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC. 又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1, 又AB侧面A1ABB1， 故AB⊥BC. (Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的平面角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=j. 于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝, ∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D. 又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋j＝∠AA1B＋j＝，故θ＋j＝. 证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(), A1(0,c,a)，于是，＝（0，c，a）, ,=(0,0,a) 设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z), 则由 可取n＝（0，－a，c），于是 n·=ac＞0，与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角. sinq=cosb=, cosj= 所以sinq=cosj=sin(),又0＜q，j＜，所以q+j=. 19.本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实际问题的能力.（满分12分） 解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000. ① 广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0. 广告的面积S＝(a+20)(2b+25) ＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b ≥18500+2=18500+ 当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=,代入①式得a=120，从而b=75. 即当a=120，b=75时,S取得最小值24500. 故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小. 解法2：设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，其中x＞20，y＞25 两栏面积之和为2(x－20),由此得y= 广告的面积S=xy=x()＝x, 整理得S= 因为x－20＞0，所以S≥2 当且仅当时等号成立， 此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175， 即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500， 故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小. 20.本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力. （满分13分） (Ⅰ)解法1：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4)， 将点（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a2＝2， 故所求双曲线方程为 解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2. 2a=|PF1|－|PF2|= ∴a2=2，b2=c2－a2=2. ∴双曲线C的方程为 (Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理， 得(1－k2)x2－4kx－6=0. ① ∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F, ∴ ∴k∈(－)∪ (-1,1)∪(1,). ② 设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=于是 |EF|= = 而原点O到直线l的距离d＝, ∴SΔOEF= 若SΔOEF＝，即解得k=±, 满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和 解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理， 得(1－k2)x2－4kx－6＝0. ① ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， ∴ ∴k∈(－)∪(-1,1)∪(1,). ② 设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得 |x1－x2|＝. ③ 当E、F在同一支上时（如图1所示）， SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|=； 当E、F在不同支上时（如图2所示）， SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝ 综上得SΔOEF＝，于是 由|OQ|＝2及③式，得SΔOEF＝. 若SΔOEF＝2，即,解得k=±,满足②. 故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和y= 21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力.（满分14分） (Ⅰ)证明：假设存在一个实数l，使｛an｝是等比数列，则有,即 （）2=2矛盾. 所以｛an｝不是等比数列. （Ⅱ）证明：∵ = 又由上式知 故当数列｛bn｝是以为首项，为公比的等比数列. （Ⅲ）当由（Ⅱ）得于是 当时，，从而上式仍成立. 要使对任意正整数n , 都有 即 令 当n为正奇数时，当n为正偶数时， 于是可得 综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有 的取值范围为