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1992
年高
数学
文科
江西
自主
命题
1992年江西高考文科数学真题及答案
一、选择题(共18小题,每小题3分,满分54分)
1.(3分) 的值是( )
A.
B.
1
C.
D.
2
2.(3分)已知椭圆 上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为( )
A.
9
B.
7
C.
5
D.
3
3.(3分)如果函数y=sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是4π,那么常数ω为( )
A.
4
B.
2
C.
D.
4.(3分)在( ﹣ )8的二项展开式中,常数项等于( )
A.
B.
﹣7
C.
7
D.
﹣
5.(3分)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )
A.
6:5
B.
5:4
C.
4:3
D.
3:2
6.(3分)图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象.已知n取±2,± 四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为( )
A.
﹣2,﹣ , ,2
B.
2, ,﹣ ,﹣2
C.
﹣ ,﹣2,2,
D.
2, ,﹣2,﹣
7.(3分)若loga2<logb2<0,则( )
A.
0<a<b<1
B.
0<b<a<1
C.
a>b>1
D.
b>a>1
8.(3分)原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标为( )
A.
( )
B.
( )
C.
(3,4)
D.
(4,3)
9.(3分)在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
10.(3分)圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )
A.
x2+y2﹣x﹣2y﹣ =0
B.
x2+y2+x﹣2y+1=0
C.
x2+y2﹣x﹣2y+1=0
D.
x2+y2﹣x﹣2y+ =0
11.(3分)在[0,2π]上满足sinx≥ 的x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
12.(3分)已知直线l1和l2的夹角平分线为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0,那么直线l2的方程为( )
A.
bx+ay+c=0
B.
ax﹣by+c=0
C.
bx+ay﹣c=0
D.
bx﹣ay+c=0
13.(3分)如果α,β∈( ,π)且tanα<cotβ,那么必有( )
A.
α<β
B.
β<α
C.
π<α+β<
D.
α+β>
14.(3分)在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
15.(3分)已知复数z的模为2,则|z﹣i|的最大值为( )
A.
1
B.
2
C.
D.
3
16.(3分)函数y= 的反函数( )
A.
是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数
B.
是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数
C.
是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数
D.
是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数
17.(3分)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2﹣t),那么( )
A.
f(2)<f(1)<f(4)
B.
f(1)<f(2)<f(4)
C.
f(2)<f(4)<f(1)
D.
f(4)<f(2)<f(1)
18.(3分)长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( )
A.
B.
C.
5
D.
6
二、填空题(共5小题,每小题3分,满分15分)
19.(3分)(2009•金山区二模) 的值为
_________ .
20.(3分)已知α在第三象限且tanα=2,则cosα的值是
_________ .
21.(3分)方程 的解是 _________ .
22.(3分)设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,则 的值为 _________ .
23.(3分)焦点为F1(﹣2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是
_________ .
三、解答题(共5小题,满分51分)
24.(9分)求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值.
25.(10分)设z∈C,解方程z﹣2|z|=﹣7+4i.
26.(10分)如图,已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E、F分别为棱AA1与CC1的中点,求四棱锥的A1﹣EBFD1的体积.
27.(10分)在△ABC中,已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0,∠A的平分线所在直线的方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求点C的坐标.
28.(12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围.
(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.
参考答案
一、选择题(共18小题,每小题3分,满分54分)
1.(3分) 的值是( )
A.
B.
1
C.
D.
2
考点:
对数的运算性质.
分析:
根据 ,从而得到答案.
解答:
解: .
故选A.
点评:
本题考查对数的运算性质.
2.(3分)已知椭圆 上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为( )
A.
9
B.
7
C.
5
D.
3
考点:
椭圆的简单性质;椭圆的定义.
专题:
综合题.
分析:
由椭圆方程找出a的值,根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a,把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和,由P到一个焦点的距离为3,求出P到另一焦点的距离即可.
解答:
解:由椭圆 ,得a=5,
则2a=10,且点P到椭圆一焦点的距离为3,
由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣3=7.
故选B
点评:
此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质,是一道中档题.
3.(3分)如果函数y=sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是4π,那么常数ω为( )
A.
4
B.
2
C.
D.
考点:
二倍角的正弦.
分析:
逆用二倍角正弦公式,得到y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再利用正弦周期公式和周期是求出ω的值
解答:
解:∵y=sin(ωx)cos(ωx)= sin(2ωx),
∴T=2π÷2ω=4π
∴ω= ,
故选D
点评:
二倍角公式是高考中常考到的知识点,特别是余弦角的二倍角公式,对它们正用、逆用、变形用都要熟悉,本题还考的周期的公式求法,记住公式,是解题的关键,注意ω的正负,要加绝对值.
4.(3分)在( ﹣ )8的二项展开式中,常数项等于( )
A.
B.
﹣7
C.
7
D.
﹣
考点:
二项式定理.
专题:
计算题.
分析:
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数为0,求出r代入通项求出常数项.
解答:
解::( ﹣ )8的二项展开式的通项公式为
Tr+1=c8r( )8﹣r•(﹣x﹣ )r
= •x8﹣ r,
令8﹣ r=0得r=6,所以r=6时,得二项展开式的常数项为T7= =7.
故选C.
点评:
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.
5.(3分)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )
A.
6:5
B.
5:4
C.
4:3
D.
3:2
考点:
旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
专题:
计算题.
分析:
设圆柱的底面半径,求出圆柱的全面积以及球的表面积,即可推出结果.
解答:
解:设圆柱的底面半径为r,则圆柱的全面积是:2πr2+2rπ×2r=6πr2
球的全面积是:4πr2,所以圆柱的全面积与球的表面积的比:3:2
故选D.
点评:
本题考查旋转体的表面积,是基础题.
6.(3分)图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象.已知n取±2,± 四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为( )
A.
﹣2,﹣ , ,2
B.
2, ,﹣ ,﹣2
C.
﹣ ,﹣2,2,
D.
2, ,﹣2,﹣
考点:
幂函数的图像.
专题:
阅读型.
分析:
由题中条件:“n取±2,± 四个值”,依据幂函数y=xn的性质,在第一象限内的图象特征可得.
解答:
解:根据幂函数y=xn的性质,在第一象限内的图象,n越大,递增速度越快,
故曲线c1的n=﹣2,曲线c2的n= ,c3的n= ,
曲线c4的n=2,故依次填﹣2,﹣ , ,2.
故选A.
点评:
幂函数是重要的基本初等函数模型之一.学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征,即图象语言,熟记幂函数的图象、性质,把握幂函数的关键点(1,1)和利用直线y=x来刻画其它幂函数在第一象限的凸向.
7.(3分)若loga2<logb2<0,则( )
A.
0<a<b<1
B.
0<b<a<1
C.
a>b>1
D.
b>a>1
考点:
对数函数图象与性质的综合应用.
专题:
计算题.
分析:
利用对数的换底公式,将题中条件:“loga2<logb2<0,”转化成同底数对数进行比较即可.
解答:
解:∵loga2<logb2<0,
由对数换底公式得:
∴
∴0>log2a>log2b
∴根据对数的性质得:
∴0<b<a<1.
故选B.
点评:
本题主要考查对数函数的性质,对数函数是许多知识的交汇点,是历年高考的必考内容,在高考中主要考查:定义域、值域、图象、对数方程、对数不等式、对数函数的主要性质(单调性等)及这些知识的综合运用.
8.(3分)原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标为( )
A.
( )
B.
( )
C.
(3,4)
D.
(4,3)
考点:
中点坐标公式.
专题:
综合题.
分析:
设出原点与已知直线的对称点A的坐标(a,b),然后根据已知直线是线段AO的垂直平分线,得到斜率乘积为﹣1且AO的中点在已知直线上分别列出两个关于a与b的方程,联立两个方程即可求出a与b的值,写出A的坐标即可.
解答:
解:设原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标为A(a,b),直线8x+6y=25的斜率k=﹣ ,
因为直线OA与已知直线垂直,所以kOA= = ,即3a=4b①;
且AO的中点B在已知直线上,B( , ),代入直线8x+6y=25得:4a+3b=25②,
联立①②解得:a=4,b=3.所以A的坐标为(4,3).
故选D.
点评:
此题考查学生掌握两直线垂直时斜率所满足的关系,利用运用中点坐标公式化简求值,是一道中档题.
9.(3分)在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
考点:
棱锥的结构特征.
专题:
作图题.
分析:
借助长方体的一个顶点画出图形,不难解答本题.
解答:
解:如图底面是矩形,一条侧棱垂直底面,
那么它的四个侧面都是直角三角形.
故选D.
点评:
本题考查棱锥的结构特征,考查空间想象能力,要求学生心中有图,是基础题.
10.(3分)圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )
A.
x2+y2﹣x﹣2y﹣ =0
B.
x2+y2+x﹣2y+1=0
C.
x2+y2﹣x﹣2y+1=0
D.
x2+y2﹣x﹣2y+ =0
考点:
圆的一般方程.
分析:
所求圆圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切,不难由抛物线的定义知道,圆心、半径可得结果.
解答:
解:圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程,以及抛物线的定义可知,
所求圆的圆心的横坐标x= ,即圆心( ,1),半径是1,所以排除A、B、C.
故选D.
点评:
本题考查圆的方程,抛物线的定义,考查数形结合、转化的数学思想,是中档题.
11.(3分)在[0,2π]上满足sinx≥ 的x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
正弦函数的单调性.
专题:
计算题.
分析:
利用三角函数线,直接得到sinx≥ 的x的取值范围,得到正确选项.
解答:
解:在[0,2π]上满足sinx≥ ,由三角函数线可知,满足sinx≥ ,的解,在图中阴影部分,
故选B
点评:
本题是基础题,考查三角函数的求值,利用单位圆三角函数线,或三角函数曲线,都可以解好本题,由于 是特殊角的三角函数值,可以直接求解.
12.(3分)已知直线l1和l2的夹角平分线为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0,那么直线l2的方程为( )
A.
bx+ay+c=0
B.
ax﹣by+c=0
C.
bx+ay﹣c=0
D.
bx﹣ay+c=0
考点:
与直线关于点、直线对称的直线方程.
专题:
计算题.
分析:
因为由题意知,直线l1和l2关于直线y=x对称,故把l1的方程中的x 和y交换位置即得直线l2的方程.
解答:
解:因为夹角平分线为y=x,所以直线l1和l2关于直线y=x对称,
故l2的方程为 bx+ay+c=0.
故选 A.
点评:
本题考查求对称直线的方程的方法,当两直线关于直线y=x对称时,把其中一个方程中的x 和y交换位置,即得另一条直线的方程.
13.(3分)如果α,β∈( ,π)且tanα<cotβ,那么必有( )
A.
α<β
B.
β<α
C.
π<α+β<
D.
α+β>
考点:
正切函数的单调性.
专题:
计算题.
分析:
先判断tanα<0 且cotβ<0,不等式即tanα•tanβ>1,由tan(α+β)>0及 π<α+β<2π,可得π<α+β< π.
解答:
解:∵α,β∈( ,π),∴tanα<0 且cotβ<0,不等式 tanα<cotβ,即 tanα< ,
tanα•tanβ>1,∴tanα+tanβ<0,
∴tan(α+β)= >0,又 π<α+β<2π,∴π<α+β< π,
故选 C.
点评:
本题考查正切值在各个象限内的符号,以及正切函数的单调性.
14.(3分)在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
异面直线及其所成的角.
专题:
计算题.
分析:
先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1,得到的锐角或直角就是异面直线所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可.
解答:
解:如图,将AM平移到B1E,NC平移到B1F,则∠EB1F为直线AM与CN所成角
设边长为2,则B1E=B1F= ,EF= ,
∴cos∠EB1F= ,
故选D.
点评:
本题主要考查了异面直线及其所成的角,以及余弦定理的应用,属于基础题.
15.(3分)已知复数z的模为2,则|z﹣i|的最大值为( )
A.
1
B.
2
C.
D.
3
考点:
复数的代数表示法及其几何意义.
分析:
根据复数的几何意义,知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆,|z﹣i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,其最大值为圆上点(0,﹣2)到点(0,1)的距离.
解答:
解:∵|z|=2,则复数z对应的轨迹是以圆心在原点,半径为2的圆,
而|z﹣i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,
∴其最大值为圆上点(0,﹣2)到点(0,1)的距离,
最大的距离为3.
故选D.
点评:
本题考查了复数及复数模的几何意义,数形结合可简化解答.
16.(3分)函数y= 的反函数( )
A.
是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数
B.
是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数
C.
是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数
D.
是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数
考点:
反函数;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
专题:
计算题;综合题.
分析:
先求函数的反函数,注意函数的定义域,然后判定反函数的奇偶性,单调性,即可得到选项.
解答:
解:设ex=t(t>0),
则 2y=t﹣ ,
t2﹣2yt﹣1=0,
解方程得 t=y+ 负跟已舍去,
ex=y+ ,
对换 X,Y 同取对数得函数y= 的反函数:
g(x)=
由于g(﹣x)= = =﹣g(x),所以它是奇函数,
并且它在(0,+∞)上是增函数.
故选C.
点评:
本题考查反函数的求法,函数的奇偶性,单调性的判定,是基础题.
17.(3分)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2﹣t),那么( )
A.
f(2)<f(1)<f(4)
B.
f(1)<f(2)<f(4)
C.
f(2)<f(4)<f(1)
D.
f(4)<f(2)<f(1)
考点:
二次函数的图象;二次函数的性质.
专题:
压轴题;数形结合.
分析:
先从条件“对任意实数t都有f (2+t)=f (2﹣t)”得到对称轴,然后结合图象判定函数值的大小关系即可.
解答:
解:∵对任意实数t都有f (2+t)=f (2﹣t)
∴f(x)的对称轴为x=2,而f(x)是开口向上的二次函数故可画图观察
可得f(2)<f(1)<f(4),
故选A.
点评:
本题考查了二次函数的图象,通过图象比较函数值的大小,数形结合有助于我们的解题,形象直观.
18.(3分)长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( )
A.
B.
C.
5
D.
6
考点:
棱柱的结构特征.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
设出长方体的长、宽、高,表示出长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,然后整理可得对角线的长度.
解答:
解:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,由题意可知,
4(a+b+c)=24…①,
2ab+2bc+2ac=11…②,
由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25,
这个长方体的一条对角线长为:5,
故选C.
点评:
本题考查长方体的有关知识,是基础题.
二、填空题(共5小题,每小题3分,满分15分)
19.(3分)(2009•金山区二模) 的值为
.
考点:
数列的极限.
专题:
计算题.
分析:
先利用等比列求和公式求出数列{(﹣1)n﹣1× }的前n项和,再利用极限法则求极限.
解答:
解:不妨设Sn= ﹣ +…+(﹣1)n﹣1× =
∴ Sn= = =
故答案为: .
点评:
.本题考查数列极限的知识,是基础题,要熟练掌握.
20.(3分)已知α在第三象限且tanα=2,则cosα的值是
.
考点:
同角三角函数基本关系的运用;象限角、轴线角.
专题:
计算题.
分析:
利用α在第三象限判断出cosα<0,进而利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值.
解答:
解:∵α在第三象限
∴cosα=﹣ =﹣ =﹣
故答案为:﹣
点评:
本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用.解题的关键是熟练记忆三角函数中的平方关系和商数关系.
21.(3分)方程 的解是 x=﹣1 .
考点:
有理数指数幂的化简求值.
分析:
将方程两边乘以1+3x,令t=3x,然后移项、合并同类项,从而解出x.
解答:
解:∵ ,
∴1+3﹣x=3(1+3x),
令t=3x,
则1+ =3+3t,
解得t= ,
∴x=﹣1,
故答案为:x=﹣1.
点评:
此题考查有理数指数幂的化简,利用换元法求解方程的根,是一道不错的题.
22.(3分)设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,则 的值为 .
考点:
子集与真子集.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
先根据子集的定义,求集合的子集及其个数,子集即是指属于集合的部分或所有元素组成的集合,包括空集.
解答:
解:∵含有10个元素的集合的全部子集数为210=1024,
又∵其中由3个元素组成的子集数为C103=120.
∴则 的值为 = .
故填: .
点评:
本题考查集合的子集个数问题,对于集合M的子集问题一般来说,若M中有n个元素,则集合M的子集共有2n个.
23.(3分)焦点为F1(﹣2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是
.
考点:
双曲线的标准方程;双曲线的简单性质.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
先由已知条件求出a,b,c的值,然后根据函数的平移求出双曲线的方程.
解答:
解:∵双曲线的焦点为F1(﹣2,0)和F2(6,0),离心率为2,
∴2c=6﹣(﹣2)=8,c=4, ,b2=16﹣4=12,
∴双曲线的方程是 .
故答案为: .
点评:
本题考查双曲线方程的求法,解题时要注意函数的平移变换,合理地选取公式.
三、解答题(共5小题,满分51分)
24.(9分)求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值.
考点:
三角函数恒等式的证明.
专题:
计算题.
分析:
见到平方式就降幂,见到乘积式就积化和差,将前二项用降幂公式,后两项积化和差,结合特殊角的三角函数值即可解决.
解答:
解:原式=\frac{1}{2}(1﹣cos40°)+\frac{1}{2}(1+cos160°)+\frac{3}{2}(sin100°﹣sin60°)
=1+\frac{1}{2}(cos160°﹣cos40°)+\frac{3}{2}sin100°﹣
=﹣ sin100°sin60°+ sin100°
=\frac{1}{4}.
故答案为 .
点评:
本题主要考查知识点:两角和与差、二倍角的三角函数.
25.(10分)设z∈C,解方程z﹣2|z|=﹣7+4i.
考点:
复数相等的充要条件.
专题:
计算题.
分析:
设z=x+yi(x,y∈R)代入方程,由实部和虚部相等列出方程组,求出方程组的解验证后,再求出复数.
解答:
解:设z=x+yi(x,y∈R),依题意有x+yi﹣2 =﹣7+4i,
由复数相等的定义得, ,解得y=4,且x﹣2 =﹣7①.
解方程①并经检验得x1=3,x2= .
∴z1=3+4i,z2= +4i.
点评:
本小题主要考查复数相等的条件及解方程的知识,考查了计算能力.
26.(10分)如图,已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E、F分别为棱AA1与CC1的中点,求四棱锥的A1﹣EBFD1的体积.
考点:
棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题:
计算题;转化思想.
分析:
法一:判断四棱锥A1﹣EBFD1的底面是菱形,连接A1C1、EF、BD1,说明A1C1到底面EBFD1的距离就是A1﹣EBFD1的高,求出底面 ,高的大小,即可得到棱锥的体积.
法二:三棱锥A1﹣EFB与三棱锥A1﹣EFD1等底同高,棱锥 转化为2• • •a,求解即可.
解答:
解:法一:∵EB=BF=FD1=D1E= = a,
∴四棱锥A1﹣EBFD1的底面是菱形.(2分)
连接A1C1、EF、BD1,则A1C1∥EF.
根据直线和平面平行的判定定理,A1C1平行于A1﹣EBFD1的底面,
从而A1C1到底面EBFD1的距离就是A1﹣EBFD1的高(4分)
设G、H分别是A1C1、EF的中点,连接D1G、GH,则FH⊥HG,FH⊥HD1
根据直线和平面垂直的判定定理,有FH⊥平面HGD1,
又,四棱锥A1﹣EBFD1的底面过FH,根据两平面垂直的判定定理,
有A1﹣EBFD1的底面⊥平面HGD1.作GK⊥HD1于K,
根据两平面垂直的性质定理,有GK垂直于A1﹣EBFD1的底面.(6分)
∵正方体的对角面AA1CC1垂直于底面A1B1C1D1,∴∠HGD1=90°.
在Rt△HGD1内,GD1= a,HG= a,HD1= = a.
∴ a•GK= a• a,从而GK= a.(8分)
∴ = •GK= • •EF•BD1•GK
= • a• a• a= a3(10分)
解法二∵EB=BF=FD1=D1E= = a,
∴四棱锥A1﹣EBFD1的底面是菱形.(2分)
连接EF,则△EFB≌△EFD1.
∵三棱锥A1﹣EFB与三棱锥A1﹣EFD1等底同高,
∴ .
∴ .(4分)
又 ,
∴ ,(6分)
∵CC1∥平面ABB1A1,
∴三棱锥F﹣EBA1的高就是CC1到
平面ABB1A1的距离,即棱长a.(8分)
又△EBA1边EA1上的高为a.
∴ =2• • •a= a3.(10分)
点评:
本小题主要考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及空间想象能力和逻辑推理能力.
27.(10分)在△ABC中,已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0,∠A的平分线所在直线的方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求点C的坐标.
考点:
直线的点斜式方程.
专题:
压轴题.
分析:
根据三角形的性质解A点,再解出AC的方程,进而求出BC方程,解出C点坐标.逐步解答.
解答:
解:点A为y=0与x﹣2y+1=0两直线的交点,
∴点A的坐标为(﹣1,0).
∴kAB= =1.
又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0,
∴kAC=﹣1.
∴直线AC的方程是y=﹣x﹣1.
而BC与x﹣2y+1=0垂直,∴kBC=﹣2.
∴直线BC的方程是y﹣2=﹣2(x﹣1).
由y=﹣x﹣1,y=﹣2x+4,
解得C(5,﹣6).
故选C(5,﹣6).
点评:
本题可以借助图形帮助理解题意,将条件逐一转化求解,这是上策.
28.(12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围.
(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.
考点:
等差数列的前n项和;数列的函数特性.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
(1)由S12>0,S13<0,利用等差数列的前n项和的公式化简分别得到①和②,然后利用等差数列的通项公式化简a3得到首项与公差的关系式,解出首项分别代入到①和②中得到关于d的不等式组,求出不等式组的解集即可得到d的范围;
(2)根据(1)中d的范围可知d小于0,所以此数列为递减数列,在n取1到12中的正整数中只要找到有一项大于0,它的后一项小于0,则这项与之前的各项相加就最大,根据S12>0,S13<0,利用等差数列的性质及前n项和的公式化简可得S1,S2,…,S12中最大的项.
解答:
解:(1)依题意,有 ,
即
由a3=12,得a1=12﹣2d③,
将③式分别代①、②式,得
∴ <d<﹣3.
(2)由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13.
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,
则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
⇒ ,
∴a6>0,a7<0,
故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
点评:
本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力,是一道中档题.