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1998
年高
数学
理科
江苏
自主
命题
1998年江苏高考理科数学真题及答案
一、选择题(共15小题,每小题4分,满分60分)
1.(4分)sin330°等于( )
A. B. C. D.
2.(4分)函数y=a|x|(a>1)的图象是( )
A. B.
C. D.
3.(4分)曲线的极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程为( )
A.(x+2)2+y2=4 B.(x﹣2)2+y2=4
C.(x+4)2+y2=16 D.(x﹣4)2+y2=16
4.(4分)两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是( )
A.A1A2+B1B2=0 B.A1A2﹣B1B2=0
C. D.
5.(4分)函数f(x)( x≠0)的反函数f﹣1(x)=( )
A.x(x≠0) B.(x≠0) C.﹣x(x≠0) D.(x≠0)
6.(4分)若点P(sinα﹣cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π)内α的取值范围是( )
A.* B.
C. D.
7.(4分)已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )
A.120° B.150° C.180° D.240°
8.(4分)复数﹣i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是( )
A.i B.i C.±i D.±i
9.(4分)如果棱台的两底面积分别是S,S′,中截面的面积是S0,那么( )
A.2 B.S0 C.2S0=S+S′ D.S02=2S'S
10.(4分)向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系如图,那么水瓶的形状是图中的( )
A. B.
C. D.
11.(4分)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有( )
A.90种 B.180种 C.270种 D.540种
12.(4分)椭圆1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的( )
A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍
13.(4分)球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( )
A.4 B.2 C.2 D.
14.(4分)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角是( )
A.arccos B.arcsin C.arccos D.arcsin
15.(4分)在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足Sn,那么a1的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,)
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
16.(5分)已知圆C过双曲线1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是 .
17.(5分)(x+2)10(x2﹣1)的展开式中x10的系数为 (用数字作答).
18.(5分)如图,在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形.)
19.(5分)关于函数f(x)=4sin(x∈R),有下列命题:
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1﹣x2必是π的整数倍;
②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos;
③y=f(x)的图象关于点对称;
④y=f(x)的图象关于直线x对称.
其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题序号都填上)
三、解答题(共6小题,满分70分)
20.(10分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,A﹣C.求sinB的值.以下公式供解题时参考:
sinθ+sin∅=2sincos,
sinθ﹣sin∅=2cossin,
cosθ+cos∅=2coscos,
cosθ﹣cos∅=﹣2sinsin.
21.(12分)如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
22.(12分)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计).
23.(12分)已知如图,斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=2,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.
(1)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;
(2)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;
(3)求顶点C到侧面A1ABB1的距离.
24.(12分)设曲线C的方程是y=x3﹣x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.
(1)写出曲线C1的方程;
(2)证明曲线C与C1关于点A(,)对称;
(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点,证明st且t≠0.
25.(12分)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.
1998年全国统一高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共15小题,每小题4分,满分60分)
1.(4分)sin330°等于( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵
故选:B.
2.(4分)函数y=a|x|(a>1)的图象是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:法一:由题设知 y,
又a>1.由指数函数图象易知答案为B.
法二:因y=a|x|是偶函数,又a>1.
所以a|x|≥1,排除AC.当x≥0,y=ax,由指数函数图象知选B.
故选:B.
3.(4分)曲线的极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程为( )
A.(x+2)2+y2=4 B.(x﹣2)2+y2=4
C.(x+4)2+y2=16 D.(x﹣4)2+y2=16
【解答】解:将原极坐标方程ρ=4cosθ,化为:
ρ2=4ρcosθ,
化成直角坐标方程为:x2+y2﹣4x=0,
即y2+(x﹣2)2=4.
故选:B.
4.(4分)两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是( )
A.A1A2+B1B2=0 B.A1A2﹣B1B2=0
C. D.
【解答】解:直线A1x+B1y+C1=0的方向向量为(﹣B1,A1),直线A2x+B2y+C2=0的方向向量为(﹣B2,A2),
两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直,就是两条直线的方向向量的数量积为0,
即:(﹣B1,A1)(﹣B2,A2)=0 可得A1A2+B1B2=0
故选:A.
5.(4分)函数f(x)( x≠0)的反函数f﹣1(x)=( )
A.x(x≠0) B.(x≠0) C.﹣x(x≠0) D.(x≠0)
【解答】由y得x且y≠0,所以反函数f﹣1(x)且x≠0 故选则B
6.(4分)若点P(sinα﹣cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π)内α的取值范围是( )
A.* B.
C. D.
【解答】解:∵⇒⇒
故选:B.
7.(4分)已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )
A.120° B.150° C.180° D.240°
【解答】解:圆锥的全面积是底面积的3倍,那么母线和底面半径的比为2,
设圆锥底面半径为1,则圆锥母线长为2,圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2π,
该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角:π,即180°
故选:C.
8.(4分)复数﹣i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是( )
A.i B.i C.±i D.±i
【解答】解:∵﹣i=cosisin,其立方根是 cosisin ,k∈0,1,2,
即 i,i,i,
故选:D.
9.(4分)如果棱台的两底面积分别是S,S′,中截面的面积是S0,那么( )
A.2 B.S0 C.2S0=S+S′ D.S02=2S'S
【解答】解:不妨设棱台为三棱台,设棱台的高为2r,上部三棱锥的高为a,
根据相似比的性质可得:,可得:
消去r,可得2
故选:A.
10.(4分)向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系如图,那么水瓶的形状是图中的( )
A. B.
C. D.
【解答】解:如果水瓶形状是圆柱,V=πr2h,r不变,V是h的正比例函数,
其图象应该是过原点的直线,与已知图象不符.故D错;
由已知函数图可以看出,随着高度h的增加V也增加,但随h变大,
每单位高度的增加,体积V的增加量变小,图象上升趋势变缓,
其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小.故A、C错.
故选:B.
11.(4分)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有( )
A.90种 B.180种 C.270种 D.540种
【解答】解:三所学校依次选医生、护士,不同的分配方法共有:C31C62C21C42=540种.
故选:D.
12.(4分)椭圆1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的( )
A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍
【解答】解:由题设知F1(﹣3,0),F2(3,0),
如图,设P点的坐标是(x,y),线段PF1 的中点坐标为(,)
∵线段PF1的中点M在y轴上,
∴0
∴x=3
将P(3,y)代入椭圆1,得到y2.
∴|PF1|,
|PF2|.
∴.
故选:A.
13.(4分)球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( )
A.4 B.2 C.2 D.
【解答】解法一:过O作OO′⊥平面ABC,O′是垂足,
则O′是△ABC的中心,则O′A=r=2,又因为∠AOC=θ,
OA=OC知OA=AC<2O′A.其次,OA是Rt△OO′A的斜边,
故OA>O′A.所以O′A<OA<2O′A.因为OA=R,所以2<R<4.
因此,排除A、C、D,得B.
解法二:在正三角形ABC中,应用正弦定理,得AB=2rsin60°=2.
因为∠AOB=θ,所以侧面AOB是正三角形,得球半径R=OA=AB=2.
解法三:因为正三角形ABC的外径r=2,故高ADr=3,D是BC的中点.
在△OBC中,BO=CO=R,∠BOC,所以BC=BO=R,BDBCR.
在Rt△ABD中,AB=BC=R,所以由AB2=BD2+AD2,得R2R2+9,所以R=2.
故选:B.
14.(4分)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角是( )
A.arccos B.arcsin C.arccos D.arcsin
【解答】解:设Rt△ABC中,C,则A与B互余且A为最小内角.
又由已知得sin2B=sinA,即cos2A=sinA,1﹣sin2A=sinA,
解得sinA或sinA(舍).
故选:B.
15.(4分)在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足Sn,那么a1的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,)
【解答】解:由题意知Sn,
∴a12=1﹣q,
∵a1>1,|q|<1,∴1<a12<2,
∴.
故选:D.
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
16.(5分)已知圆C过双曲线1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是 .
【解答】解:由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点,
所以圆C的圆心的横坐标为4.
故圆心坐标为(4,±).
∴它到中心(0,0)的距离为d.
故答案为:.
17.(5分)(x+2)10(x2﹣1)的展开式中x10的系数为 179 (用数字作答).
【解答】解:(x+2)10(x2﹣1)=x2(x+2)10﹣(x+2)10
∴(x+2)10(x2﹣1)的展开式中x10的系数是(x+2)10展开式的x8的系数﹣x10的系数
∵(x+2)10展开式的通项为Tr+1=C10rx10﹣r2r=2rC10rx10﹣r
∴令r=0,2分别得x10,x8的系数为1,180
故展开式中x10的系数为180﹣1=179,
故答案为179
18.(5分)如图,在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 AC⊥BD 时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形.)
【解答】解:∵四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD是直棱柱,
∴B1D1⊥A1A,若A1C⊥B1D1
则B1D1⊥平面A1AC1C
∴B1D1⊥AC,
又由B1D1∥BD,
则有BD⊥AC,
反之,由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1
故答案为:BD⊥AC.
19.(5分)关于函数f(x)=4sin(x∈R),有下列命题:
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1﹣x2必是π的整数倍;
②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos;
③y=f(x)的图象关于点对称;
④y=f(x)的图象关于直线x对称.
其中正确的命题的序号是 ② .(把你认为正确的命题序号都填上)
【解答】解:函数f(x)=4sin的最小正周期T=π,
由相邻两个零点的横坐标间的距离是知①错.
利用诱导公式得f(x)=4cos
=4cos4cos,知②正确.
由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心,
将x代入得f(x)=4sin0,
因此点(,0)不是f(x)图象的一个对称中心,
故命题③错误.
曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点,且与y轴平行,而x时y=0,点
(,0)不是最高点也不是最低点,
故直线x不是图象的对称轴,因此命题④不正确.
故答案为:②
三、解答题(共6小题,满分70分)
20.(10分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,A﹣C.求sinB的值.以下公式供解题时参考:
sinθ+sin∅=2sincos,
sinθ﹣sin∅=2cossin,
cosθ+cos∅=2coscos,
cosθ﹣cos∅=﹣2sinsin.
【解答】解:由正弦定理和已知条件a+c=2b得sinA+sinC=2sinB.
由和差化积公式得2sincos2sinB.
由A+B+C=π得sincos,
又A﹣C得cossinB,
所以cos2sincos.
因为0,cos0,
所以sin,
从而cos
所以sinB.
21.(12分)如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
【解答】解:法一:如图建立坐标系,
以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.
依题意知:曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A,B分别为C的端点.
设曲线段C的方程为
y2=2px(p>0),(xA≤x≤xB,y>0),
其中xA,xB分别为A,B的横坐标,p=|MN|.
所以M(,0),N(,0).
由|AM|,|AN|=3得
(xA)2+2pxA=17,①
(xA)2+2pxA=9.②
由①,②两式联立解得xA.再将其代入①式并由p>0解得
因为△AMN是锐角三角形,所以xA,故舍去
所以p=4,xA=1.
由点B在曲线段C上,得xB=|BN|4.
综上得曲线段C的方程为
y2=8x(1≤x≤4,y>0).
解法二:如图建立坐标系,
分别以l1、l2为x、y轴,M为坐标原点.
作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为E、D、F.
设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0).
依题意有
xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,
yA=|DM|,
由于△AMN为锐角三角形,故有
xN=|ME|+|EN|
=|ME|4
xB=|BF|=|BN|=6.
设点P(x,y)是曲线段C上任一点,则由题意知P属于集合
{(x,y)|(x﹣xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}.
故曲线段C的方程为y2=8(x﹣2)(3≤x≤6,y>0).
22.(12分)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计).
【解答】解法一:设y为流出的水中杂质的质量分数,
则y,其中k>0为比例系数.依题意,即所求的a,b值使y值最小.
根据题设,有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),
得b(0<a<30).①
于是y
,
当a+2时取等号,y达到最小值.
这时a=6,a=﹣10(舍去).
将a=6代入①式得b=3.
故当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
解法二:依题意,即所求的a,b的值使ab最大.
由题设知4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),
即a+2b+ab=30(a>0,b>0).
因为a+2b≥2,
所以ab≤30,
当且仅当a=2b时,上式取等号.
由a>0,b>0,解得0<ab≤18.
即当a=2b时,ab取得最大值,其最大值为18.
所以2b2=18.解得b=3,a=6.
故当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
23.(12分)已知如图,斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=2,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.
(1)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;
(2)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;
(3)求顶点C到侧面A1ABB1的距离.
【解答】(1)解:如图作A1D⊥AC,垂足为D,由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥面ABC,
所以∠A1AD为A1A与面ABC所成的角.
因为AA1⊥A1C,AA1=A1C,
所以∠A1AD=45°为所求.
(2)解:作DE⊥AB,垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB.
所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.
由已知,AB⊥BC,得ED∥BC.
又D是AC的中点,BC=2,AC=2,
所以DE=1,AD=A1D,tan∠A1ED.
故∠A1ED=60°为所求.
(3)解法一:由点C作平面A1ABB1的垂线,垂足为H,
则CH的长是C到平面A1ABB1的距离.
连接HB,由于AB⊥BC,得AB⊥HB.
又A1E⊥AB,知HB∥A1E,且BC∥ED,
所以∠HBC=∠A1ED=60°
所以CH=BCsin60°为所求.
解法二:连接A1B.
根据定义,点C到面A1ABB1的距离,即为三棱锥C﹣A1AB的高h.
由得,
即
所以为所求.
24.(12分)设曲线C的方程是y=x3﹣x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.
(1)写出曲线C1的方程;
(2)证明曲线C与C1关于点A(,)对称;
(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点,证明st且t≠0.
【解答】(1)解:曲线C1的方程为 y=(x﹣t)3﹣(x﹣t)+s.
(2)证明:在曲线C上任取一点B1(x1,y1).设B2(x2,y2)是B1关于点A的对称点,
则有,,所以x1=t﹣x2,y1=s﹣y2.
代入曲线C的方程,得x2和y2满足方程:
s﹣y2=(t﹣x2)3﹣(t﹣x2),即y2=(x2﹣t)3﹣(x2﹣t)+s,可知点B2(x2,y2)在曲线C1上.
反过来,同样可以证明,在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上.
因此,曲线C与C1关于点A对称.
(3)证明:因为曲线C与C1有且仅有一个公共点,所以,方程组有且仅有一组解.
消去y,整理得 3tx2﹣3t2x+(t3﹣t﹣s)=0,这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根.
所以t≠0并且其根的判别式△=9t4﹣12t(t3﹣t﹣s)=0,即
所以且t≠0.
25.(12分)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.
【解答】解:(1)设数列{bn}的公差为d,由题意得
解得
所以bn=3n﹣2.
(2)由bn=3n﹣2,知
Sn=loga(1+1)+loga(1)++loga(1)
=loga[(1+1)(1)(1)],logabn+1=loga.
因此要比较Sn与logabn+1的大小,可先比较(1+1)(1)(1)与的大小.
取n=1有(1+1),
取n=2有(1+1)(1),
由此推测(1+1)(1)(1).①
若①式成立,则由对数函数性质可断定:
当a>1时,Snlogabn+1.
当0<a<1时,Snlogabn+1.
下面用数学归纳法证明①式.
(ⅰ)当n=1时已验证①式成立.
(ⅱ)假设当n=k(k≥1)时,①式成立,即
(1+1)(1)(1).
那么,当n=k+1时,
(1+1)(1)(1)(1)(1)
(3k+2).
因为,
所以(3k+2).
因而(1+1)(1)(1)(1).
这就是说①式当n=k+1时也成立.
由(ⅰ),(ⅱ)知①式对任何正整数n都成立.
由此证得:
当a>1时,Snlogabn+1.
当0<a<1时,Snlogabn+1.
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日期:2019/8/12 0:35:12;用户:黄熠;邮箱:huangyi12388@;学号:716378