2016年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）.docx

2016年普通高等学校招生全国统一考试 (山东卷) 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(2016·山东理，1)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于(　　) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 2．(2016·山东理，2)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) 3．(2016·山东理，3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　) A．56 B．60 C．120 D．140 4．(2016·山东理，4)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　) A．4 B．9 C．10 D．12 5．(2016·山东理，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　) A.＋π B.＋π C.＋π D．1＋π 6．(2016·山东理，6)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．(2016·山东理，7)函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是(　　) A. B．π C. D．2π 8．(2016·山东理，8)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　) A．4 B．－4 C. D．－ 9．(2016·山东理，9)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f (－x)＝－f (x)；当x>时，f ＝f ，则f(6)等于(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 10．(2016·山东理，10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f (x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　) A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．(2016·山东理，11)执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________． 12．(2016·山东理，12)若5的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________. 13．(2016·山东理，13)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________． 14．(2016·山东理，14)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________． 15．(2016·山东理，15)已知函数f(x)＝ 其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________． 三、解答题：本答题共6小题，共75分． 16．(2016·山东理，16)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tan A＋tan B)＝＋. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求cos C的最小值． 17．(2016·山东理，17)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线． (1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； (2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角F-BC-A的余弦值． 18．(2016·山东理，18)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 19．(2016·山东理，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： (1)“星队”至少猜对3个成语的概率； (2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)． 20．(2016·山东理，20)已知f(x)＝a(x－ln x)＋，a∈R. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝1时，证明f(x)>f′(x)＋对于任意的x∈[1,2]成立． 21．(2016·山东理，21)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点． (1)求椭圆C的方程； (2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M. ①求证：点M在定直线上； ②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标． 答案解析 1.解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，∴解得∴z＝1－2i，故选B. 答案　B 2.解析　∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C. 答案　C 3.解析　设所求人数为N，则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D. 答案　D 4.解析　满足条件的可行域如下图阴影部分(包括边界)，x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取最大值，最大值为10.故选C. 答案　C 5.解析　由三视图知，半球的半径R＝，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝×1×1×1＋×π×3＝＋π，故选C. 答案　C 6.解析　若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A. 答案　A 7.解析　∵f(x)＝2sin xcos x＋(cos2x－sin2x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，∴T＝π，故选B. 答案　B 8.解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B. 答案　B 9.解析　当x>时，f＝f，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．当x<0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(2)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D. 答案　D 10.解析　对函数y＝sin x求导，得y′＝cos x，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；对函数y＝ln x求导，得y′＝恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A. 答案　A 11.解析　第1次循环：i＝1，a＝1，b＝8，a<b； 第2次循环：i＝2，a＝3，b＝6，a<b； 第3次循环：i＝3，a＝6，b＝3，a>b，输出i的值为3. 答案　3 12.解析　∵Tr＋1＝C(ax2)5－rr＝a5－rCx， ∴10－r＝5，解得r＝2，∴a3C＝－80，解得a＝－2. 答案　－2 13.解析　由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c，又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)． 答案　2 14.解析　由已知得，圆心(5,0)到直线y＝kx的距离小于半径，∴<3，解得－<k<，由几何概型得P＝＝. 答案　 15.解析　如图，当x≤m时，f(x)＝|x|；当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3. 答案　(3，＋∞) 16.(1)证明　由题意知 2＝＋. 化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，从而sin A＋sin B＝2sin C，由正弦定理得a＋b＝2c. (2)解　由(1)知c＝，所以cos C＝＝＝－≥，当且仅当a＝b时，等号成立，故cos C的最小值为. 17.(1)证明　设FC中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF. 又EF∥OB，所以GI∥OB. 在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC. 因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC. (2)连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC. 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 由题意得B(0,2，0)，C(－2，0,0)．过点F作FM垂直OB于点M， 所以FM＝＝3，可得F(0，，3)． 故＝(－2，－2，0)，＝(0，－，3)． 设m＝(x，y，z)是平面BCF的一个法向量． 由可得 可得平面BCF的一个法向量m＝， 因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)， 所以cos〈m，n〉＝＝. 所以二面角F-BC-A的余弦值为. 18.解　(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为d.由 即可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1. (3)由(1)知，cn＝＝3(n＋1)·2n＋1. 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]． 两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] ＝3× ＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2. 19.解　(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”， 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC. 由事件的独立性与互斥性， P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC) ＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P() ＝×××＋2×＝. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为. (2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得 P(X＝0)＝×××＝， P(X＝1)＝2×＝＝， P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝， P(X＝3)＝×××＋×××＝＝， P(X＝4)＝2×＝＝. P(X＝6)＝×××＝＝. 可得随机变量X的分布列为 x 0 1 2 3 4 6 P 所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝. 20.(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－－＋＝. 当a≤0时，x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 当a>0时，f′(x)＝. ①0<a<2时，>1， 当x∈(0,1)或x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减． ②a＝2时，＝1，在x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x)单调递增． ③a>2时，0<<1，当x∈或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减； 当0<a<2时，f(x)在(0,1)内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增； 当a>2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． (2)证明　由(1)知，a＝1时， f(x)－f′(x)＝x－ln x＋－ ＝x－ln x＋＋－－1，x∈[1,2]． 设g(x)＝x－ln x，h(x)＝＋－－1，x∈[1,2]，则f(x)－f′(x)＝g(x)＋h(x)．由g′(x)＝≥0， 可得g(x)≥g(1)＝1， 当且仅当x＝1时取得等号．又h′(x)＝. 设φ(x)＝－3x2－2x＋6，则φ(x)在x∈[1,2]单调递减． 因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，所以∃x0∈(1,2)，使得x∈(1，x0)时，φ(x)>0，x∈(x0，2)时，φ(x)<0. 所以h(x)在(1，x0)内单调递增，在(x0，2)内单调递减． 由h(1)＝1，h(2)＝，可得h(x)≥h(2)＝， 当且仅当x＝2时取得等号． 所以f(x)－f′(x)>g(1)＋h(2)＝.即f(x)>f′(x)＋对于任意的x∈[1,2]成立． 21.(1)解　由题意知＝，可得a2＝4b2，因为抛物线E的焦点F，所以b＝，a＝1，所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1. (2)①证明　设P(m>0)，由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为y－＝m(x－m)． 即y＝mx－. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)． 联立方程 得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0. 由Δ>0，得0<m<(或0<m2<2＋)．(*) 且x1＋x2＝，因此x0＝，将其代入y＝mx－，得y0＝，因为＝－. 所以直线OD方程为y＝－x， 联立方程得点M的纵坐标yM＝－， 所以点M在定直线y＝－上． ②解　由①知直线l的方程为y＝mx－，令x＝0，得y＝－，所以G， 又P，F，D， 所以S1＝·|GF|·m＝， S2＝·|PM|·|m－x0|＝××＝.所以＝. 设t＝2m2＋1，则＝＝＝－＋＋2，当＝， 即t＝2时，取到最大值， 此时m＝，满足(*)式，所以P点坐标为. 因此的最大值为，此时点P的坐标为.