2019年高考数学真题（文科）（广东自主命题）（原卷版）.doc

2019年全高考文科数学真题及答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，则= A．2 B． C． D．1 2．已知集合，则 A． B． C． D． 3．已知，则 A． B． C． D． 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm 5．函数f(x)=在[-π，π]的图像大致为 A． B． C． D． 6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生 7．tan255°= A．-2- B．-2+ C．2- D．2+ 8．已知非零向量a，b满足=2，且（a-b）b，则a与b的夹角为 A． B． C． D． 9．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入 A．A= B．A= C．A= D．A= 10．双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A．2sin40° B．2cos40° C． D． 11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=-，则= A．6 B．5 C．4 D．3 12．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线在点处的切线方程为___________． 14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________． 15．函数的最小值为___________． 16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17．（12分） 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：． P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18．（12分） 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5． （1）若a3=4，求{an}的通项公式； （2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 19．（12分） 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点. （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求点C到平面C1DE的距离． 20．（12分） 已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 21.（12分） 已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切． （1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径； （2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 23．[选修4−5：不等式选讲]（10分） 已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）； （2）． 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学·参考答案 一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．D 8．B 9．A 10．D 11．A 12．B 二、填空题 13．y=3x 14． 15．−4 16． 三、解答题 17．解： （1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6． （2）． 由于，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18．解： （1）设的公差为d． 由得． 由a3=4得． 于是． 因此的通项公式为． （2）由（1）得，故. 由知，故等价于，解得1≤n≤10． 所以n的取值范围是． 19．解： （1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以. 由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面. （2）过C作C1E的垂线，垂足为H. 由已知可得，，所以DE⊥平面，故DE⊥CH. 从而CH⊥平面，故CH的长即为C到平面的距离， 由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故. 从而点C到平面的距离为. 20．解： （1）设，则. 当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减. 又，故在存在唯一零点. 所以在存在唯一零点. （2）由题设知，可得a≤0. 由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减. 又，所以，当时，. 又当时，ax≤0，故. 因此，a的取值范围是. 21．解：（1）因为过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设. 因为与直线x+2=0相切，所以的半径为. 由已知得，又，故可得，解得或. 故的半径或. （2）存在定点，使得为定值. 理由如下： 设，由已知得的半径为. 由于，故可得，化简得M的轨迹方程为. 因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以. 因为，所以存在满足条件的定点P. 22．解：（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为. 的直角坐标方程为. （2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）. C上的点到的距离为. 当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为. 23．解：（1）因为，又，故有 . 所以. （2）因为为正数且，故有 =24. 所以.