2012年高考数学真题（文科）（广东自主命题）.doc

2012年广东高考文科数学试题及答案 本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 参考公式： 锥体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高. 球的体积，其中为球的半径。 一组数据的标准差，其中表示这组数据的平均数。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。 1. 设为虚数单位，则复数=( ) 2．设集合；则( ) 3. 若向量；则( ) 4. 下列函数为偶函数的是( ) 5. 已知变量满足约束条件，则的最小值为( ) 6. 在中，若，则( ) 7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( ) 8. 在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于( ) 9. 执行如下图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为( ) 10.对任意两个非零的平面向量和，定义；若两个非零的平面向量满足，与的夹角，且都在集合中，则( ) 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 (一)必做题(11-13题) 11. 函数的定义域为_________。 12. 等比数列满足，则。 13. 由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为_________。 (从小到大排列) (二)选做题(14 - 15题，考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为 (是参数，)和(是参数)，它们的交点坐标为_______. 15.(几何证明选讲选做题)如图所示，直线与圆想切于点，是弦上的点，，若，则_______。 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 (本小题满分12分)已知函数，且。 (1)求的值；(2)设，；求的值 17.(本小题满分13分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是： [50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。 (1)求图中的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； (3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()与数学成绩相应分数段的人数()之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数。 18.(本小题满分13分)如下图5所示，在四棱锥中，平面，，是中点，是上的点，且，为中边上的高。 (1)证明：平面； (2)若，求三棱锥的体积； (3)证明：平面． 19.(本小题满分14分)设数列的前项和为，数列的前项和为，满足． (1)求的值；(2)求数列的通项公式。 20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为， 且点在上。(1)求的方程；(2)设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程。 21.(本小题满分14分)设，集合，， 。(1)求集合(用区间表示)；(2)求函数在内的极值点。 2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科)参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A D C B C B C A 1. 【解析】选 依题意： 2．【解析】选 3. 【解析】选 4. 【解析】选 与是奇函数,，是非奇非偶函数 5. 【解析】选 约束条件对应边际及内的区域：，则 6. 【解析】选 由正弦定理得： 7．【解析】选 几何体是半球与圆锥叠加而成，它的体积为 8. 【解析】选 圆的圆心到直线的距离，弦的长 9. 【解析】选 10. 【解析】选 都在集合中得：。 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 (一)必做题(11-13题) 9. 【解析】定义域为，中的满足：或 10. 【解析】， 11. 【解析】这组数据为，不妨设得： ①如果有一个数为或；则其余数为，不合题意；②只能取；得：这组数据为 (二)选做题(14 - 15题，考生只能从中选做一题) 14.【解析】它们的交点坐标为， 解得：交点坐标为 15.【解析】，得： 。 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.解：(1)。 (2)，，。 ，，， 17.解：(1)。 (2)平均分为。 (3)数学成绩在内的人数为人，数学成绩在外的人数为人。 答：(1)；(2)这100名学生语文成绩的平均分为；(3)数学成绩在外的人数为人。 18.(1)证明：平面，面，又平面， 平面。 (2)是中点点到面的距离， 三棱锥的体积。 (3)取的中点为，连接。 ，又平面，平面平面平面， 又平面平面，平面面， 点是棱的中点，又，得：平面。 19.解:(1)在中，令。 (2)，相减得：，， 相减得：，，，得， ，得：数列是以为首项，为公比的等比数列， 。 20.解：(1)由题意得：，故椭圆的方程为：。 (2)①当直线的斜率不存在时，设直线，直线与椭圆相切，直线与抛物线相切，得：不存在。 ②当直线的斜率存在时，设直线，直线与椭圆相切两根相等；直线与抛物线相切两根相等 ，解得：或。 21.解：(1)对于方程，判别式。 因为，所以。 当时，，此时，所以； 当时，，此时，所以； 当时，，设方程的两根为且， 则，， ，，所以，此时， 综上可知，当时，； 当时，；当时，。 (2)，由， 由或，所以函数在区间和上为递增，在区间上为递减。 当时，因为，所以在内有极大值点和极小值点； 当时，，所以在内有极大值点； 当时， ，在内有极大值点。 综上可知：当时，在内有极大值点；当时，在内有极大值点和极小值点。