2008年高考真题数学【文】(山东卷)（含解析版）.doc

2008年普通高等学校招生全国统一考试山东文科数学试题及答案 第Ⅰ卷（共60分） 参考公式： 锥体的体积公式：，其中是锥体的底面积，是锥体的高． 球的表面积公式：，其中是球的半径． 如果事件互斥，那么． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．满足，且的集合的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设的共轭复数是，若，，则等于（ ） A． B． C． D． 3．函数的图象是（ ） y x O y x O y x O y x O A． B． C． D． 4．给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．设函数则的值为（ ） A． B． C． D． 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2 6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ） A． B． C． D． 7．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 8．已知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（ ） A． B． C． D． 9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ） 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A． B． C．3 D． 10．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 11．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． O y x 12．已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 开始 ? 是 输入p 结束 输出 否 13．已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 14．执行右边的程序框图，若， 则输出的 ． 15．已知， 则的 值等于 ． 16．设满足约束条件 则的最大值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分） 已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求的单调递减区间． 18．（本小题满分12分） 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． （Ⅰ）求被选中的概率； （Ⅱ）求和不全被选中的概率． 19．（本小题满分12分） A B C M P D 如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，． （Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面； （Ⅱ）求四棱锥的体积． 20．（本小题满分12分） 将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足． （Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和． 21．（本小题满分12分） 设函数，已知和为的极值点． （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）讨论的单调性； （Ⅲ）设，试比较与的大小． 22．（本小题满分14分） 已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点． （1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程； （2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值． 2008年普通高等学校招生全国统一考试答案 1．B 解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合中必含有, 则或.选B. 2．D 解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。可设，由 得选D. 3．A 解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。是偶函数， 可排除B、D，由的值域可以确定.选A. 4．C 解析：本小题主要考查四种命题的真假。易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题, 而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中, 真命题 有一个。选C. 5．A 解析：本小题主要考查分段函数问题。正确利用分段函数来进行分段求值。 选A. 6．D 解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为选D。 7．D解析：本小题主要考查分式不等式的解法。易知排除B;由符合可排除C; 由排除A, 故选D。也可用分式不等式的解法,将2移到左边直接求解。 8．C 解析：本小题主要考查解三角形问题。 ， .选C. 本题在求角B时,也可用验证法. 9．B 解析：本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算。 选B. 10．C 解析主要考查三角函数变换与求值。，选C. 11．B 解析：本小题主要考查圆与直线相切问题。 设圆心为由已知得选B. 12．A 解析：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 由图易得取特殊点 .选A. 二、填空题 13． 解析：本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆 得圆与坐标轴的交点分别为 则所以双曲线的标准方程为 14． 解析：本小题主要考查程序框图。 ，因此输出 15．2008 解析：本小题主要考查对数函数问题。 16．11 解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形,其四个顶点 分别为验证知在点时取得最大值11. 三、解答题 17．解：（Ⅰ） ． 因为为偶函数， 所以对，恒成立， 因此． 即， 整理得． 因为，且， 所以． 又因为， 故． 所以． 由题意得，所以． 故． 因此． （Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象， 所以． 当（）， 即（）时，单调递减， 因此的单调递减区间为（）． 18．解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间 {，， ，，， ，，， } 由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用表示“恰被选中”这一事件，则 {， } 事件由6个基本事件组成， 因而． （Ⅱ）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件， 由于{}，事件有3个基本事件组成， 所以，由对立事件的概率公式得． 19．（Ⅰ）证明：在中， 由于，，， A B C M P D O 所以． 故． 又平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 又平面， 故平面平面． （Ⅱ）解：过作交于， 由于平面平面， 所以平面． 因此为四棱锥的高， 又是边长为4的等边三角形． 因此． 在底面四边形中，，， 所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为， 此即为梯形的高， 所以四边形的面积为． 故． 20．（Ⅰ）证明：由已知，当时，， 又， 所以， 即， 所以， 又． 所以数列是首项为1，公差为的等差数列． 由上可知， 即． 所以当时，． 因此 （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且． 因为， 所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项， 故在表中第13行第三列， 因此． 又， 所以． 记表中第行所有项的和为， 则． 21．解：（Ⅰ）因为 ， 又和为的极值点，所以， 因此 解方程组得，． （Ⅱ）因为，， 所以， 令，解得，，． 因为当时，； 当时，． 所以在和上是单调递增的； 在和上是单调递减的． （Ⅲ）由（Ⅰ）可知， 故， 令， 则． 令，得， 因为时，， 所以在上单调递减． 故时，； 因为时，， 所以在上单调递增． 故时，． 所以对任意，恒有，又， 因此， 故对任意，恒有． 22．解：（Ⅰ）由题意得 又， 解得，． 因此所求椭圆的标准方程为． （Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为， ． 解方程组得，， 所以． 设，由题意知， 所以，即， 因为是的垂直平分线， 所以直线的方程为， 即， 因此， 又， 所以， 故． 又当或不存在时，上式仍然成立． 综上所述，的轨迹方程为． （2）当存在且时，由（1）得，， 由解得，， 所以，，． 解法一：由于 ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是． 当，． 当不存在时，． 综上所述，的面积的最小值为． 解法二：因为， 又，， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 此时面积的最小值是． 当，． 当不存在时，． 综上所述，的面积的最小值为．